Групповое сокращение - Group contraction - Wikipedia

В теоретической физике Юджин Вигнер и Эрдал Инёню обсудили^[1] возможность получить от заданного Группа Ли другую (неизоморфную) группу Ли групповое сокращение относительно ее непрерывной подгруппы. Это равносильно ограничивающей операции над параметром Алгебра Ли, изменяя структурные константы этой алгебры Ли нетривиальным сингулярным образом при подходящих обстоятельствах.^[2][3]

Например, алгебра Ли из Группа вращения 3D ТАК (3), [Икс₁, Икс₂] = Икс₃и т.д., можно переписать заменой переменных Y₁ = εX₁, Y₂ = εX₂, Y₃ = Икс₃, так как

[Y₁, Y₂] = ε² Y₃,     [Y₂, Y₃] = Y₁,     [Y₃, Y₁] = Y₂.

Предел сокращения ε → 0 тривиализирует первый коммутатор и, таким образом, дает неизоморфную алгебру плоскости Евклидова группа, E₂ ~ ISO (2). (Это изоморфно цилиндрической группе, описывающей движения точки на поверхности цилиндра. Это маленькая группа, или же подгруппа стабилизатора, из нуля четырехвекторный в Пространство Минковского.) В частности, генераторы перевода Y₁, Y₂, теперь генерируем абелев нормальная подгруппа из E₂ (ср. Расширение группы ), параболические преобразования Лоренца.

Подобные ограничения, имеющие большое применение в физике (см. Принципы переписки ), договор

• то группа де Ситтера SO (4, 1) ~ Sp (2, 2) к Группа Пуанкаре ISO (3, 1), поскольку радиус де Ситтера расходится: р → ∞; или же
• то Группа Пуанкаре к Группа Галилей, как скорость света расходится: c → ∞;^[4] или же
• то Кронштейн Мойял Алгебры Ли (эквивалентной квантовым коммутаторам) к Скобка Пуассона Алгебра Ли, в классический предел как Постоянная Планка исчезает: час → 0.

Примечания

1. Инёню и Вигнер 1953
2. Сигал 1951, п. 221
3. Салетан 1961, п. 1
4. Гилмор 2006

Рекомендации

• Дули, А. Х .; Райс, Дж. У. (1985). «О сжатиях полупростых групп Ли» (PDF). Труды Американского математического общества. 289 (1): 185–202. Дои:10.2307/1999695. ISSN  0002-9947. МИСТЕР  0779059.
• Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения. Дуврские книги по математике. Dover Publications. ISBN  0486445291. МИСТЕР  1275599.
• Инёню, Э.; Вигнер, Э. (1953). «О сжатии групп и их представлений». Proc. Natl. Акад. Наука. 39 (6): 510–24. Bibcode:1953ПНАС ... 39..510И. Дои:10.1073 / пнас.39.6.510. ЧВК  1063815. PMID  16589298.
• Салетан, Э. Дж. (1961). «Сжатие групп Ли». Журнал математической физики. 2 (1): 1. Bibcode:1961JMP ..... 2 .... 1S. Дои:10.1063/1.1724208.
• Сегал, И. (1951). «Класс операторных алгебр, определяемых группами». Математический журнал герцога. 18: 221. Дои:10.1215 / S0012-7094-51-01817-0.