Система Энона-Хейлеса - Hénon–Heiles system - Wikipedia

Контурная диаграмма потенциала Энона – Хейлса.

Хотя в Принстон в 1962 г., Мишель Энон и Карл Хайлс работал над нелинейным движением звезды вокруг галактического центра с движением, ограниченным плоскостью. В 1964 г. они опубликовали статью «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты».^[1] Их первоначальная идея заключалась в том, чтобы найти третий интеграл движения в галактической динамике. Для этого они взяли упрощенный двумерный нелинейный акси-симметричный потенциал и обнаружили, что третий интеграл существует только для ограниченного числа начальных условий. В современной перспективе начальные условия, не имеющие третьего интеграла движения, называются хаотическими. орбиты.

Вступление

В Потенциал Энона-Хейлса можно выразить как^[2]

${\displaystyle V(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}\right).}$

Энон-Хейлес Гамильтониан можно записать как

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}\right).}$

Система Хенона – Хейлса (HHS) определяется следующими четырьмя уравнениями:

${\displaystyle {\dot {x}}=p_{x},}$

${\displaystyle {\dot {p_{x}}}=-x-2\lambda xy,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=p_{y},}$

${\displaystyle {\dot {p_{y}}}=-y-\lambda (x^{2}-y^{2}).}$

В сообществе классического хаоса значение параметра ${\displaystyle \lambda }$ обычно принимается за единицу. Поскольку HHS указан в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, нам нужен гамильтониан с двумя степенями свободы для его моделирования. В некоторых случаях его можно решить с помощью Анализ Пенлеве.

Квантовый гамильтониан Энона – Хейлса

В квантовом случае метод Энона – Хейлса Гамильтониан можно записать как двумерный Уравнение Шредингера.

Соответствующее двумерное уравнение Шредингера имеет вид

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,y)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {1}{3}}y^{3}\right)\right]\Psi (x,y).}$

Вада свойство выходных бассейнов

Система Хенона – Хейлса демонстрирует богатое динамическое поведение. Обычно Вада собственность нельзя увидеть в Гамильтонова система, но выходная котловина Энона-Хейлеса демонстрирует интересное свойство Вада. Видно, что когда энергия превышает критическую, система Энона – Хейлса имеет три выходных бассейна. В 2001 М. А. Ф. Санхуан и другие.^[3] показал, что в системе Хенона – Хейлеса бассейны выхода обладают свойством Вада.

Рекомендации

1. Hénon, M .; Heiles, C. (1964). «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты». Астрономический журнал. 69: 73–79. Bibcode:1964AJ ..... 69 ... 73H. Дои:10.1086/109234.
2. Энон, Мишель (1983), «Численное исследование гамильтоновых систем», в Iooss, G. (ed.), Хаотическое поведение детерминированных систем, Elsevier Science Ltd, стр. 53–170, ISBN  044486542X
3. Агирре, Хакобо; Vallejo, Juan C .; Санхуан, Мигель А. Ф. (27 ноября 2001 г.). «Бассейны Вада и хаотические инвариантные множества в системе Энона-Хейлса». Физический обзор E. Американское физическое общество (APS). 64 (6): 066208. Дои:10.1103 / Physreve.64.066208. ISSN  1063-651X.

внешняя ссылка

• http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html