Гамильтонова связь LQG - Hamiltonian constraint of LQG

в Состав ADM из общая теория относительности пространство-время разбивается на пространственные срезы и время, в качестве основных переменных принимаются индуцированная метрика, ${\displaystyle q_{ab}(x)}$, на пространственном срезе ( метрика индуцированный на пространственном срезе метрикой пространства-времени), и его сопряженная переменная импульса, связанная с внешней кривизной, ${\displaystyle K^{ab}(x)}$, (это говорит нам, как пространственный срез изгибается относительно пространства-времени, и является мерой того, как индуцированная метрика развивается во времени).^[1] Это метрика канонические координаты.

Динамика, такая как временная эволюция полей, контролируется Гамильтонова связь.

Идентичность гамильтоновой связи - главный открытый вопрос в квантовая гравитация, как и извлечение физических наблюдаемые от любого такого конкретного ограничения.

В 1986 г. Абхай Аштекар представил новый набор канонических переменных, Переменные Аштекара представить необычный способ переписать метрические канонические переменные на трехмерных пространственных срезах в терминах SU (2) калибровочное поле и его дополнительная переменная.^[2] В этой переформулировке гамильтониан был значительно упрощен. Это привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности.^[3] и, в свою очередь петля квантовой гравитации.

В рамках петля квантовой гравитации представление Thiemann смог сформулировать математически строгую оператор как предложение как такое ограничение.^[4] Хотя этот оператор определяет полную и непротиворечивую квантовую теорию, возникают сомнения в физической реальности этой теории из-за несоответствия с классической общая теория относительности (квантовая алгебра ограничений замыкается, но она не изоморфна классической алгебре ограничений GR, которая рассматривается как косвенное свидетельство несогласованности, но определенно не доказательство несогласованности), поэтому были предложены варианты.

Классические выражения для гамильтониана

Метрическая формулировка

Идея заключалась в том, чтобы квантовать канонические переменные. ${\displaystyle q_{ab}}$ и ${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$, превращая их в операторы, действующие на волновые функции в пространстве 3-метрик, а затем квантовать гамильтониан (и другие ограничения). Однако вскоре эта программа стала считаться чрезвычайно сложной по разным причинам, одна из которых заключалась в неполиномиальном характере гамильтоновой связи:

${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-\;^{3}R)}$

где ${\displaystyle \;^{3}R}$ скалярная кривизна трех метрики ${\displaystyle q_{ab}(x)}$. Будучи неполиномиальным выражением от канонических переменных и их производных, его очень сложно преобразовать в квантовый оператор.

Выражение с использованием переменных Аштекара

Переменные конфигурации Переменные Аштекара вести себя как ${\displaystyle SU(2)}$ измерительное поле или соединение ${\displaystyle A_{a}^{i}}$. Его канонически сопряженный импульс равен ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ это уплотненное "электрическое" поле или триада (уплотненная как ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$). Какое отношение эти переменные имеют к гравитации? Уплотненные триады могут быть использованы для восстановления пространственной метрики через

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}}$.

Уплотненные триады не уникальны, и фактически можно выполнить локальное в пространстве вращение по внутренним показателям ${\displaystyle i}$. На самом деле это происхождение ${\displaystyle SU(2)}$ калибровочная инвариантность. Это соединение можно использовать для восстановления внешней кривизны. Отношение задается

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

где ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ относится к спин-соединение, ${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$, от ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ и ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$.

С точки зрения Переменные Аштекара, классическое выражение связи имеет вид

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

где ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$ тензор напряженности поля калибровочного поля ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ . Из-за фактора ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ это неполиномиально от переменных Аштекара. Поскольку мы накладываем условие

${\displaystyle H=0}$,

мы могли бы вместо этого рассматривать уплотненный гамильтониан,

${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0}$.

Этот гамильтониан теперь полиномиален от переменных Аштекара. Это событие породило новые надежды на каноническую программу квантовой гравитации.^[5] Хотя переменные Аштекара обладали достоинством упрощения гамильтониана, проблема заключалась в том, что переменные становились сложными. Когда кто-то квантует теорию, это трудная задача - восстановить реальную общую теорию относительности в отличие от сложной общей теории относительности. Также возникли серьезные трудности с преобразованием уплотненного гамильтониана в квантовый оператор.

Один из способов решения проблемы реальных условий заключался в том, чтобы отметить, что если мы примем подпись ${\displaystyle (+,+,+,+)}$, то есть евклидова вместо лоренцевой, то можно сохранить простую форму гамильтониана для вещественных переменных. Затем можно определить то, что называется обобщенным Вращение фитиля восстановить лоренцеву теорию.^[6] Обобщенно, поскольку это преобразование Вика в фазовом пространстве и не имеет ничего общего с аналитическим продолжением параметра времени. ${\displaystyle t}$.

Выражение для реальной формулировки переменных Аштекара

Томас Тиманн смог решить обе вышеуказанные проблемы.^[4] Он использовал настоящую связь

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

В реальных переменных Аштекара полный гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H=-\zeta {\frac {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}}{\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{\frac {({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b})}{\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$.

где постоянная ${\displaystyle \beta }$ это Параметр Барберо-Иммирзи.^[7] Постоянная ${\displaystyle \zeta }$ равно -1 для лоренцевой подписи и +1 для евклидовой подписи. В ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ имеют сложные отношения с рассмотренными триадами и вызывают серьезные проблемы при квантовании. Переменные Аштекара можно рассматривать как выбор ${\displaystyle \beta =i}$ чтобы второй, более сложный член был обращен в нуль (первый член обозначается ${\displaystyle H_{E}}$ потому что для евклидовой теории этот термин остается для реального выбора ${\displaystyle \beta =\pm 1}$). Также у нас все еще есть проблема ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ фактор.

Тиманн смог заставить это работать по-настоящему ${\displaystyle \beta }$. Сначала он мог упростить неприятный ${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$ используя личность

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

где ${\displaystyle V}$ объем,

${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}|}}}$.

Первый член гамильтоновой связи принимает вид

${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$

при использовании личности Тимана. Эта скобка Пуассона заменяется коммутатором при квантовании. Оказывается, аналогичный прием можно использовать и для второго члена. Почему ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ дается уплотненными триадами ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$? Это происходит из условия совместимости

${\displaystyle D_{a}E_{b}^{i}=0}$.

Мы можем решить эту проблему почти так же, как Леви-Чивита соединение можно рассчитать по формуле ${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$; вращая различные индексы, а затем складывая и вычитая их (см. статью спин-соединение для более подробной информации о выводе, хотя здесь мы используем несколько другие обозначения). Затем мы перепишем это в терминах уплотненной триады, используя это ${\displaystyle \det({\tilde {E}})=|\det(E)|^{2}}$. Результат сложный и нелинейный, но однородная функция из ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ нулевого порядка,

${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}={1 \over 2}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}[{\tilde {E}}_{a,b}^{j}-{\tilde {E}}_{b,a}^{j}+{\tilde {E}}_{j}^{c}{\tilde {E}}_{a}^{l}{\tilde {E}}_{c,b}^{l}]+{1 \over 4}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{k}^{b}{\Big [}2{\tilde {E}}_{a}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,b} \over \det({\tilde {E}})}-{\tilde {E}}_{b}^{j}{(\det({\tilde {E}}))_{,a} \over \det({\tilde {E}})}{\Big ]}}$.

Чтобы обойти проблемы, связанные с этим сложным соотношением, Тиман сначала определяет калибровочно-инвариантную величину Гаусса

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

где ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$, и отмечает, что

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$.

(это потому что ${\displaystyle \{\Gamma _{a}^{i},K\}=0}$ что происходит из-за того, что ${\displaystyle \beta K}$ является генератором каноническое преобразование постоянного масштабирования, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}\mapsto {\tilde {E}}_{i}^{a}/\beta }$, и ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ является однородной функцией нулевого порядка). Затем мы можем написать

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$

и как таковой найти выражение в терминах переменной конфигурации ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ и ${\displaystyle K}$ для второго члена гамильтониана

${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}}$.

Почему квантовать проще ${\displaystyle K}$? Это потому, что его можно переписать в единицах величин, которые мы уже знаем, как квантовать. В частности ${\displaystyle K}$ можно переписать как

${\displaystyle K=-\{V,\int d^{3}xH_{E}\}}$

где мы использовали, что интегрированный уплотненный след внешней кривизны является "производной от объема по времени".

Связь с материей

Связь со скалярным полем

Лагранжиан для скалярное поле в искривленном пространстве-времени

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -V(\varphi ))}$.

где ${\displaystyle \mu ,\nu }$ - пространственно-временные индексы. Определим сопряженный импульс скалярного поля с помощью обычного ${\displaystyle {\tilde {\pi }}=\delta L/\delta {\dot {\varphi }}}$, гамильтониан можно переписать как

${\displaystyle H=\int d^{3}xN\left({{\tilde {\pi }}^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}}+{\sqrt {\det(q)}}(q^{ab}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +V(\varphi ))\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$,

где ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{a}}$ это промах и сдвиг. В переменных Аштекар это читается так:

${\displaystyle H=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)+N^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

Как обычно (размазанное) пространственное ограничение диффеоморфизма связано с функцией сдвига ${\displaystyle N^{a}}$ а (размазанный) гамильтониан связан с функцией отклонения ${\displaystyle N}$. Итак, мы просто считываем пространственный диффеоморфизм и гамильтонову связь,

${\displaystyle C({\vec {N}})_{\varphi }=\int d^{3}xN^{a}{\tilde {\pi }}\partial _{a}\varphi }$

${\displaystyle H(N)_{\varphi }=\int d^{3}x{N \over {\sqrt {\det(q)}}}\left({\tilde {\pi }}^{2}+{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}\partial _{a}\varphi \partial _{b}\varphi +\det(q)V(\varphi )\right)}$.

Их следует добавить (умножить на ${\displaystyle 8\pi G\beta }$) к пространственному диффеоморфизму и гамильтоновой связи гравитационного поля соответственно. Это представляет связь скалярной материи с гравитацией.

Связь с фермионным полем

Есть проблемы, связанные с гравитацией спинор поля: нет конечномерных спинорных представлений общей ковариационной группы. Однако, конечно, существуют спинорные представления о Группа Лоренца. Этот факт используется с помощью тетрадных полей, описывающих плоское касательное пространство в каждой точке пространства-времени. В Матрицы Дирака ${\displaystyle \gamma ^{I}}$ заключены на vierbiens,

${\displaystyle \gamma ^{I}e_{I}^{a}(x)=\gamma ^{a}(x)}$.

Мы хотим построить общековариантное уравнение Дирака. Под плоским касательным пространством Преобразование Лоренца преобразует спинор как

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\epsilon ^{IJ}(x)\sigma _{IJ}}\psi }$

Мы ввели локальные преобразования Лоренца на плоском касательном пространстве, поэтому ${\displaystyle \epsilon _{IJ}}$ это функция пространства-времени. Это означает, что частная производная спинора больше не является истинным тензором. Как обычно, вводится поле связи ${\displaystyle \omega _{\mu }^{IJ}}$ что позволяет нам калибровать группу Лоренца. Ковариантная производная, определенная с помощью спиновой связи, равна

${\displaystyle \nabla _{a}\psi =(\partial _{a}-{i \over 4}\omega _{a}^{IJ}\sigma _{IJ})\psi }$,

и является настоящим тензором, а уравнение Дирака переписывается как

${\displaystyle (i\gamma ^{a}\nabla _{a}-m)\psi =0}$.

Действие Дирака в ковариантной форме имеет вид

${\displaystyle S_{Dirac}={1 \over 2}\int _{\mathcal {M}}d^{4}x{\sqrt {-det(g)}}[{\overline {\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\nabla _{a}\Psi -{\overline {\nabla _{a}\Psi }}\gamma ^{I}E_{I}^{a}\Psi ]}$

где ${\displaystyle \Psi =(\psi ,\eta )}$ является биспинором Дирака и ${\displaystyle {\overline {\Psi }}=(\Psi ^{*})^{T}\gamma ^{0}}$ является его сопряженным. Ковариантная производная ${\displaystyle \nabla _{a}}$ определено, чтобы уничтожить тетраду ${\displaystyle E_{a}^{I}}$.

Связь с электромагнитным полем

Лагранжиан для электромагнитного поля в искривленном пространстве-времени равен

${\displaystyle L=-\int d^{4}x{\sqrt {-\det(g)}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }{\mathcal {F}}_{\mu \nu }{\mathcal {F}}_{\alpha \beta })}$

где

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu \nu }=\nabla ^{\mu }{\mathcal {A}}^{\nu }-\nabla ^{\nu }{\mathcal {A}}^{\mu }}$

- тензор напряженности поля в компонентах

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0a}={\mathcal {E}}^{a}}$

и ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{ab}=\epsilon ^{abc}B_{c}}$

где электрическое поле определяется выражением

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{a}=-\nabla _{a}{\mathcal {A}}_{0}-{\dot {\mathcal {A}}}_{a}}$

и магнитное поле.

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}\nabla _{b}{\mathcal {A}}_{c}}$.

Классический анализ с действием Максвелла с последующей канонической формулировкой с использованием параметризации временной шкалы приводит к:

${\displaystyle H(N,N^{a},\Lambda )={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}xN{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{b}+B^{a}B^{b}]+N^{a}{\mathcal {F}}_{ab}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}+\Lambda \nabla _{a}{\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$

${\displaystyle B^{a}=\epsilon ^{abc}B_{c}\qquad \qquad {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}=-{\sqrt {q}}N{\mathcal {F}}^{0a}}$

с участием ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ и ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a}}$ канонические координаты.

Связь с месторождением Янга-Миллса

${\displaystyle H={1 \over 2}\int _{\Sigma }d^{3}x{q_{ab} \over {\sqrt {det(q)}}}[{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{a}{\tilde {\mathcal {E}}}_{I}^{b}+B_{I}^{a}B_{I}^{b}]}$

Полный гамильтониан материи, связанной с гравитацией

Динамика связанной системы гравитация-материя просто определяется добавлением терминов, определяющих динамику материи, к гравитационному гамильтониану. Полный гамильтониан описывается формулой

${\displaystyle H=H_{Einstein}+H_{Maxwell}+H_{Yang-Mills}+H_{Dirac}+H_{Higgs}}$.

Квантовая гамильтонова связь

В этом разделе мы обсуждаем квантование гамильтониана чистой гравитации, то есть в отсутствие материи. Случай включения материи обсуждается в следующем разделе.

Ограничения в их примитивной форме довольно сингулярны, поэтому их следует "размазать" соответствующими тестовыми функциями. Гамильтониан записывается как

${\displaystyle H(N)=\int d^{3}xN\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}\epsilon ^{abc}}$.

Для простоты мы рассматриваем только «евклидову» часть гамильтоновой связи, расширение до полного ограничения можно найти в литературе. На самом деле существует множество различных вариантов выбора функций, и в результате получается (размытый) гамильтонианские ограничения.Требовать, чтобы все они исчезли, эквивалентно первоначальному описанию.

Представление цикла

Петля Вильсона определяется как

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

где ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ указывает порядок путей, так что коэффициенты для меньших значений ${\displaystyle s}$ появляются слева, а где ${\displaystyle T_{i}}$ удовлетворить ${\displaystyle su(2)}$ алгебра,

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}}$.

Из этого легко увидеть, что

${\displaystyle Tr(T^{i}T^{j})-Tr(T^{j}T^{i})=2i\epsilon ^{ijk}Tr(T^{k})}$.

подразумевает, что ${\displaystyle Tr(T^{i})=0}$.

Петли Вильсона не независимы друг от друга, и на самом деле некоторые их линейные комбинации называются спиновая сеть состояния образуют ортонормированный базис. Поскольку спиновые сетевые функции образуют базис, мы можем формально разложить любую калибровочно-инвариантную функцию Гаусса как

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]s_{\gamma }[A]}$.

Это называется обратным преобразованием цикла. Преобразование цикла дается

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]s_{\gamma }[A]}$

и аналогично тому, что делают, когда переходят к импульсное представление в квантовой механике,

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$.

Преобразование цикла определяет представление цикла. Учитывая оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ в представлении соединения,

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]}$,

мы определяем ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$ преобразованием цикла,

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]s_{\gamma }[A]}$.

Отсюда следует, что следует определить соответствующий оператор ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ на ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ в представлении цикла как

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]s_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$,

или

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }s_{\gamma }[A])\Psi [A]}$,

согласно которому ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ мы имеем в виду оператора ${\displaystyle {\hat {O}}}$ но с обратным порядком множителей. Мы оцениваем действие этого оператора на спиновой сети как вычисление в представлении связи и перестраиваем результат как манипуляцию исключительно в терминах циклов (следует помнить, что при рассмотрении действия на спиновой сети следует выбрать желаемый оператор преобразовать с обратным порядком множителя к тому, который выбран для его воздействия на волновые функции ${\displaystyle \Psi [A]}$). Это дает физический смысл оператора ${\displaystyle {\hat {O}}'}$. Например, если ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ были пространственным диффеоморфизмом, то это можно рассматривать как сохранение поля связи ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle s_{\gamma }[A]}$ где он находится при выполнении пространственного диффеоморфизма на ${\displaystyle \gamma }$ вместо. Следовательно, смысл ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ является пространственным диффеоморфизмом на ${\displaystyle \gamma }$, аргумент ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

Оператор голономии в представлении цикла - это оператор умножения,

${\displaystyle {\hat {h}}_{\gamma }\Psi [\eta ]=h_{\gamma }\Psi [\eta ]}$

Содействие гамильтоновой связи квантовому оператору

Мы продвигаем гамильтонову связь к квантовый оператор в представлении цикла. Вводится процедура решеточной регуляризации. мы предполагаем, что пространство разделено на тетраэдры ${\displaystyle \Delta }$. Можно построить такое выражение, что предел уменьшения размера тетраэдров приближается к выражению для гамильтоновой связи.

Для каждого тетраэдра выберите вершину и вызовите ${\displaystyle v(\Delta )}$. Позволять ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$ с участием ${\displaystyle i=1,2,3}$ быть тремя ребрами, заканчивающимися на ${\displaystyle v(\Delta )}$. Теперь построим цикл

${\displaystyle \alpha _{ij}=s_{i}(\Delta )\cdot s_{ij}(\Delta )\cdot s_{j}(\Delta )^{-1}}$

двигаясь вперед ${\displaystyle s_{i}(\Delta )}$ затем по линии, соединяющей точки ${\displaystyle s_{i}}$ и ${\displaystyle s_{j}}$ это не ${\displaystyle v(\Delta )}$ (который мы обозначили ${\displaystyle s_{ij}}$), а затем вернувшись к ${\displaystyle v(\Delta )}$ вместе ${\displaystyle s_{j}}$. Голономия

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{s_{0}}^{s_{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}\approx I-(s_{k}^{a})A_{a}^{i}T_{i}}$

вдоль линии в пределе тетраэдр сжимается, аппроксимирует соединение через

${\displaystyle \lim _{\Delta \rightarrow v(\Delta )}h_{s_{k}}=I-A_{c}s_{k}^{c}}$

где ${\displaystyle s_{k}^{c}}$ вектор в направлении кромки ${\displaystyle s_{k}}$. Можно показать, что

${\displaystyle \lim _{\Delta v\rightarrow (\Delta )}h_{\alpha _{ij}}=I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b}}$.

(это выражает тот факт, что тензор напряженности поля или кривизна измеряет голономию вокруг "бесконечно малых петель"). Мы вынуждены пытаться

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}h_{\alpha _{ij}}h_{s_{k}}\{h_{s_{k}}^{-1},V\}{\big )}}$

где сумма берется по всем тетраэдрам ${\displaystyle \Delta }$. Подставляя холономии,

${\displaystyle H_{\Delta }(N)=\sum _{\Delta }N(v(\Delta ))\epsilon ^{ijk}Tr{\big (}(I+{1 \over 2}F_{ab}s_{i}^{a}s_{j}^{b})(I-A_{c}s_{k}^{c})\{(I+A_{d}s_{k}^{d}),V\}{\big )}}$.

Идентификатор будет иметь исчезающую скобку Пуассона с объемом, поэтому единственный вклад будет исходить от соединения. Поскольку скобка Пуассона уже пропорциональна ${\displaystyle s_{k}^{c}}$ только тождественная часть голономии ${\displaystyle h_{s_{k}}}$ вне скобки способствует. Наконец-то у нас есть голономия вокруг ${\displaystyle \alpha _{ij}}$; член идентичности не влияет, поскольку скобка Пуассона пропорциональна матрице Паули (поскольку ${\displaystyle A_{c}=A_{c}^{i}T_{i}}$ и постоянная матрица ${\displaystyle T_{i}}$ можно вынести за скобки Пуассона) и взять след. Оставшийся срок ${\displaystyle h_{\alpha _{ij}}}$ дает ${\displaystyle F_{ab}}$. Три длины ${\displaystyle s}$появляются вместе с суммированием в пределе для получения интеграла.

Это выражение сразу же может быть преобразовано в оператор в представлении цикла, и холономия, и объем продвигаются там до четко определенных операторов.

Триангуляция выбирается таким образом, чтобы адаптироваться к состоянию спиновой сети, на которое вы действуете, выбирая вершины и линии соответствующим образом. При переходе на предел будет много линий и вершин триангуляции, которые не соответствуют линиям и вершинам спиновой сети. Из-за наличия объема гамильтонова связь будет вносить свой вклад только в том случае, если есть по крайней мере три некомпланарные линии вершины.

Здесь мы рассмотрели только действие гамильтоновой связи на трехвалентные вершины. Вычислить действие на вершины с более высокой валентностью сложнее. Отсылаем читателя к статье Борисова, Де Пьетри и Ровелли.^[8]

Конечная теория

Гамильтониан не инвариантен относительно пространственных диффеоморфизмов, и поэтому его действие может быть определено только на кинематическом пространстве. Его действие можно перенести в разные инвариантные состояния. Как мы увидим, это влияет на то, где именно добавляется новая строка. Рассмотрим состояние ${\displaystyle \langle \Psi |}$ такой, что ${\displaystyle \langle \Psi ,s\rangle =\langle \Psi ,s'\rangle }$ если спиновые сети ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle s'}$ диффеоморфны друг другу. Такое состояние находится не в кинематическом пространстве, а принадлежит большему дуальному пространству плотного подпространства кинематического пространства. Затем мы определяем действие ${\displaystyle {\hat {H}}(N)}$ следующим образом,

${\displaystyle \langle {\hat {H}}(N)\Psi ,s\rangle =\lim _{\Delta \rightarrow v}\sum _{\Delta }\langle \Psi ,{\hat {H}}_{\Delta }(N)s\rangle }$.

В этом случае положение добавленной строки не имеет значения. Когда кто-то проектирует ${\displaystyle \Psi }$ положение линии не имеет значения, потому что вы работаете с пространством состояний, инвариантных к диффеоморфизму, и поэтому линию можно перемещать «ближе» или «дальше» от вершины без изменения результата.

Решающую роль в построении играет пространственный диффеоморфизм. Если бы функции не были инвариантными к диффеоморфизму, добавленную линию пришлось бы сжать до вершины, и могли бы появиться возможные расхождения.

Та же конструкция может быть применена к гамильтониану общей теории относительности, связанному с материей: скалярные поля, поля Янга-Миллса, фермионы. Во всех случаях теория конечна, свободна от аномалий и хорошо определена. Гравитация, кажется, действует как «фундаментальный регулятор» теорий материи.

Без аномалий

Квантовые аномалии возникают, когда в квантовой алгебре ограничений есть дополнительные члены, не имеющие классических аналогов. Чтобы восстановить правильную полуклассическую теорию, эти дополнительные члены должны исчезнуть, но это подразумевает дополнительные ограничения и уменьшает количество степеней свободы теории, делая ее нефизической. Можно показать, что гамильтонова связь Теймана не содержит аномалий.

Ядро гамильтоновой связи

Ядро - это пространство состояний, которое аннулирует гамильтонова связь. Можно наметить явную конструкцию полного и строгого ядра предлагаемого оператора. Это первые с ненулевым объемом и которым не нужна ненулевая космологическая постоянная.

Полное пространство решений пространственного диффеоморфизма ${\displaystyle C^{a}(x)=0}$ для всех ${\displaystyle x\in \Sigma }$ ограничения уже давно найдены.^[9] И даже был снабжен естественным внутренним произведением, индуцированным из кинематического гильбертова пространства. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ решений ограничения Гаусса. Однако нет возможности определить гамильтоновы операторы связи, соответствующие ${\displaystyle H(x)}$ (плотно) на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ потому что гамильтоновы операторы связи не сохраняют состояния, инвариантные к пространственному диффеоморфизму. Следовательно, нельзя просто решить пространственную связь диффеоморфимов, а затем гамильтонову связь и, следовательно, структуру внутреннего произведения ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ не могут быть использованы при построении физического внутреннего продукта. Эту проблему можно обойти с помощью ограничения Master (см. Ниже), позволяющего применять только что упомянутые результаты для получения физического гильбертова пространства. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$ от ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$.

Больше сюда приехать ...

Критика гамильтоновой связи

Восстановление алгебры ограничений. Классически у нас есть

${\displaystyle \{H(N),H(M)\}=C({\vec {K}})}$

где

${\displaystyle K^{a}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}(N\partial _{b}M-M\partial _{b}N)/(\det(q))}$

Как мы знаем, в представлении петли - самосопряженный оператор, порождающий пространственные диффеоморфизмы. Следовательно, невозможно реализовать отношение ${\displaystyle \{H(N),H(M)\}}$ ибо в квантовой теории с бесконечно малыми ${\displaystyle {\vec {C}}}$, это в лучшем случае возможно с конечными пространственными доффомофизмами.

Ультралокальность гамильтониана: гамильтониан действует только в вершинах и действует, «одевая» вершину прямыми. Он не соединяет вершины и не изменяет валентности линий (за пределами «одевания»). Модификации, которые оператор гамильтоновой связи выполняет в данной вершине, не распространяются на весь граф, а ограничиваются окрестностью вершины. Фактически, повторяющееся действие гамильтониана порождает все больше и больше новых ребер, все ближе к вершине, никогда не пересекающихся друг с другом. В частности, в созданных новых вершинах нет никаких действий. Это означает, например, что для поверхностей, которые охватывают вершину (диффеоморфно инвариантно определенную), площадь таких поверхностей будет коммутировать с гамильтонианом, что подразумевает отсутствие «эволюции» этих областей, поскольку именно гамильтониан порождает «эволюцию». Это намекает на то, что теория «не может распространяться», однако Тиман указывает, что гамильтониан действует везде.

Есть несколько тонкая вещь: ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$, а определено в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ не известны явно (они известны с точностью до пространственного диффеоморфизма; они существуют аксиома выбора ).

Эти трудности можно решить с помощью нового подхода - программы ограничений Master.

Распространение квантования на включение полей материи

Фермионное вещество

Теория Максвелла

Обратите внимание, что ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {E}}}^{a},B^{a}}$ оба имеют плотность 1. Как обычно, перед квантованием нам нужно выразить ограничения (и другие наблюдаемые) в терминах холономий и потоков.

У нас есть общий фактор ${\displaystyle q_{ab}/{\sqrt {q}}}$. Как и раньше, введем клеточную декомпозицию и заметим,

${\displaystyle {q_{ab} \over {\sqrt {q}}}(x)\propto \delta _{ij}\{A_{a}^{i}(x),{\sqrt {V}}\}\{A_{b}^{j}(x),{\sqrt {V}}\}}$.

Ян-Миллс

Помимо неабелевой природы калибровочного поля, по форме выражения действуют так же, как и для случая Максвелла.

Скалярное поле - поле Хиггса

Операторы элементарной конфигурации аналогичны оператору голономии для переменных связности и действуют путем умножения как

${\displaystyle {\hat {h}}(x,\lambda )\Psi =e^{i\lambda \varphi (x)}\Psi }$.

Они называются точечными голономиями. Сопряженная переменная к точечной голономии, которая превращается в оператор в квантовой теории, принимается за размытый импульс поля

${\displaystyle P(f)=\int d^{3}x\pi _{\varphi }(x)f(x)}$

где ${\displaystyle \pi _{\varphi }}$ - поле сопряженного импульса и ${\displaystyle f(x)}$ это тестовая функция. Их скобка Пуассона имеет вид

${\displaystyle \{h(x,\lambda ),P(f)\}=i\lambda f(x)h(x,\lambda )}$.

В квантовой теории ищется представление скобки Пуассона в виде коммутатора элементарных операторов:

${\displaystyle [{\hat {h}}(x,\lambda ),{\hat {P}}(f)]=i\lambda f(x){\hat {h}}(x,\lambda )}$.

Конечность теории с включением материи

Тиман проиллюстрировал, как ультрафиолетовые расхождения в обычной квантовой теории могут быть напрямую интерпретированы как следствие приближения, игнорирующего квантовую, дискретную природу квантовой геометрии. Например, Тиман показывает, как оператор для гамильтониана Янга-Миллса, включающий ${\displaystyle E_{a}^{i}}$ хорошо определено, пока мы рассматриваем ${\displaystyle E}$ как оператор, но становится бесконечным, как только мы заменяем ${\displaystyle E}$ с гладким фоновым полем.

Программа основных ограничений

Основная статья: Главное ограничение LQG

Главное ограничение

Программа основных ограничений^[10] для петлевой квантовой гравитации (LQG) был предложен как классически эквивалентный способ наложения бесконечного числа гамильтоновых уравнений связи

${\displaystyle H(x)=0}$

с точки зрения единственного ограничения Master,

${\displaystyle M=\int d^{3}x{[H(x)]^{2} \over {\sqrt {\det q(x)}}}}$.

который включает квадрат рассматриваемых ограничений. Обратите внимание, что ${\displaystyle H(x)}$ было бесконечно много, тогда как ограничение Master - только одно. Понятно, что если ${\displaystyle M}$ исчезает, тогда бесконечно много ${\displaystyle H(x)}$с. И наоборот, если все ${\displaystyle H(x)}$исчезают, значит, исчезают ${\displaystyle M}$, поэтому они эквивалентны.

Главное ограничение ${\displaystyle M}$ включает соответствующее усреднение по всему пространству и поэтому инвариантен относительно пространственных диффеоморфизмов (он инвариантен относительно пространственных «сдвигов», поскольку является суммированием по всем таким пространственным «сдвигам» величины, которая трансформируется как скаляр). Следовательно, ее скобка Пуассона с (размытым) пространственным ограничением диффеоморфизма, ${\displaystyle C({\vec {N}})}$, просто:

${\displaystyle \{M,C({\vec {N}})\}=0}$.

(это ${\displaystyle su(2)}$ также инвариантен). Кроме того, очевидно, что, поскольку любая величина Пуассона коммутирует сама с собой, а главное ограничение является единственным ограничением, оно удовлетворяет

${\displaystyle \{M,M\}=0}$.

У нас также есть обычная алгебра пространственных диффеоморфизмов. Это представляет собой резкое упрощение структуры скобок Пуассона.

Повышение до квантового оператора

Основная статья: Расширение Фридрихса

Запишем классическое выражение в виде

${\displaystyle M=\int d^{3}x{H(x)^{2} \over {\sqrt {\det(q)}}(x)}=\int d^{3}x({H \over [\det(q)]^{1/4}})(x)\int d^{3}y\delta (x,y)({H \over [\det(q)]^{1/4}})(y)}$.

Это выражение регулируется функцией с одним параметром ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,y)}$ такой, что ${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}\chi _{\epsilon }(x,y)/\epsilon ^{3}=\delta (x,y)}$ и ${\displaystyle \chi _{\epsilon }(x,x)=1}$. Определить

${\displaystyle V_{\epsilon ,x}=\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y){\sqrt {\det(q)}}(y)}$.

Оба члена будут похожи на выражение для гамильтоновой связи, за исключением того, что теперь оно будет включать ${\displaystyle \{A,{\sqrt {V_{\epsilon }}}\}}$ скорее, чем ${\displaystyle \{A,V\}}$ что происходит от дополнительного фактора ${\displaystyle [\det(q)]^{1/4}}$. Это,

${\displaystyle M=\int d^{3}x\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{ab}^{k}(x)\int d^{3}y\chi _{\epsilon }(x,y)\epsilon ^{a'b'c'}\{A_{c'}^{k'},{\sqrt {V}}_{\epsilon }\}F_{a'b'}^{k'}(y)}$.

Таким образом, мы действуем точно так же, как в случае гамильтоновой связи, и вводим разбиение на тетраэдры, разбивая оба интеграла на суммы,

${\displaystyle M=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\sum _{\Delta ,\Delta '}\chi (v(\Delta ),v(\Delta ')){\overline {C_{\epsilon }(\Delta )}}C_{\epsilon }(\Delta ')}$.

где смысл ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$ похож на ${\displaystyle H_{\Delta }}$. Это огромное упрощение, поскольку ${\displaystyle C_{\epsilon }(\Delta )}$ можно квантовать точно как ${\displaystyle H_{\Delta }}$ с простым изменением мощности оператора громкости. Однако можно показать, что изменяющие граф операторы, инвариантные к пространственному диффеоморфизму, такие как ограничение Master, не могут быть определены в кинематическом гильбертовом пространстве. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$. Выход - определить ${\displaystyle {\hat {M}}}$ не на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$ но на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$.

Сначала мы можем вычислить матричные элементы потенциального оператора ${\displaystyle {\hat {M}}}$, то есть вычисляем квадратичную форму ${\displaystyle Q_{M}}$. Мы хотели бы, чтобы был уникальный, положительный, самосопряженный оператор ${\displaystyle {\hat {M}}}$ матричные элементы которых воспроизводят ${\displaystyle Q_{M}}$. Было показано, что такой оператор существует и задается Расширение Фридрихса.^[11][12]

Решение основного ограничения и создание физического гильбертова пространства

Как упоминалось выше, нельзя просто решить ограничение пространственного диффеоморфизма, а затем гамильтоново ограничение, индуцируя физический внутренний продукт из внутреннего продукта пространственного диффеоморфизма, потому что гамильтонова связь отображает состояния, инвариантные к пространственному диффеоморфизму, в состояния, инвариантные к непространственному диффеоморфизму.Однако, как главное ограничение ${\displaystyle M}$ пространственно инвариантен к диффеоморфизму, его можно определить на ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$. Таким образом, мы наконец можем использовать всю мощь упомянутых выше результатов для получения ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ от ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Kin}}$.^[9]

использованная литература

1. Гравитация Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, опубликовано В. Х. Фриманом и компанией. Нью-Йорк.
2. Аштекар, Абхай (1986-11-03). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 57 (18): 2244–2247. Дои:10.1103 / Physrevlett.57.2244. ISSN  0031-9007.
3. Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1988-09-05). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 61 (10): 1155–1158. Дои:10.1103 / Physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007.
4. Тиманн, Т. (1996). «Формулировка без аномалий непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Письма по физике B. Elsevier BV. 380 (3–4): 257–264. arXiv:gr-qc / 9606088. Дои:10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
5. Посмотреть книгу Лекции о непертурбативной канонической гравитации для получения более подробной информации об этом и последующих разработках. Впервые опубликовано в 1991 году. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
6. Тиманн, Т. (1996-06-01). «Условия реальности, вызывающие преобразования для квантовой калибровочной теории поля и квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 13 (6): 1383–1403. arXiv:gr-qc / 9511057. Дои:10.1088/0264-9381/13/6/012. ISSN  0264-9381.
7. Барберо Г., Дж. Фернандо (1995-05-15). «Реальные аштекарские переменные для лоренцевой сигнатуры пространства-времени». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 51 (10): 5507–5510. arXiv:gr-qc / 9410014. Дои:10.1103 / Physrevd.51.5507. ISSN  0556-2821.
8. Борисов, Румен; Пьетри, Роберто Де; Ровелли, Карло (1 октября 1997 г.). «Матричные элементы гамильтоновой связи Тимана в петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 14 (10): 2793–2823. arXiv:gr-qc / 9703090. Дои:10.1088/0264-9381/14/10/008. ISSN  0264-9381.
9. Аштекар, Абхай; Левандовски, Ежи; Марольф, Дональд; Моуран, Хосе; Тиманн, Томас (1995). «Квантование диффеоморфно-инвариантных теорий связи с локальными степенями свободы». Журнал математической физики. Издательство AIP. 36 (11): 6456–6493. arXiv:gr-qc / 9504018. Дои:10.1063/1.531252. ISSN  0022-2488.
10. Тиманн, Т. (14 марта 2006 г.). «Проект Феникс: основная программа ограничений для петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 23 (7): 2211–2247. arXiv:gr-qc / 0305080. Дои:10.1088/0264-9381/23/7/002. ISSN  0264-9381.
11. Тиманн, Томас (14 марта 2006 г.). «Квантовая спиновая динамика: VIII. Главное ограничение». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 23 (7): 2249–2265. Дои:10.1088/0264-9381/23/7/003. HDL:11858 / 00-001M-0000-0013-4B4E-7. ISSN  0264-9381.
12. Хан, Мусин; Ма, Юнгге (2006). «Основные операторы связи в петлевой квантовой гравитации». Письма по физике B. Elsevier BV. 635 (4): 225–231. arXiv:gr-qc / 0510014. Дои:10.1016 / j.physletb.2006.03.004. ISSN  0370-2693.

внешние ссылки

• Обзор Карло Ровелли
• Статья Тимана в Physics Letters
• Хорошая информация о LQG