Неравенство Харди - Hardys inequality - Wikipedia

Неравенство Харди является неравенство в математика, названный в честь Г. Х. Харди. В нем говорится, что если это последовательность из неотрицательный действительные числа, то для каждого действительного числа п > 1 есть

Если правая часть конечна, выполняется равенство если и только если для всех п.

An интеграл версия неравенства Харди утверждает следующее: если ж это измеримая функция с неотрицательными значениями, то

Если правая часть конечна, выполняется равенство если и только если ж(Икс) = 0 почти всюду.

Неравенство Харди было впервые опубликовано и доказано (по крайней мере, дискретная версия с худшей константой) в 1920 году в заметке Харди.[1] Первоначальная формулировка в интегральной форме несколько отличалась от приведенной выше.

Многомерная версия

В многомерном случае неравенство Харди распространяется на -пространства, имеющие вид [2]

куда , а где постоянная как известно, острый.

Доказательство неравенства

  • Интегральная версия: a замена переменных дает
    ,
    что меньше или равно чем к Интегральное неравенство Минковского. Наконец, при другой замене переменных последнее выражение равно
    .
  • Дискретный вариант: предполагая, что правая часть конечна, мы должны иметь в качестве . Следовательно, для любого натурального числа j, есть только конечное число членов больше, чем . Это позволяет построить убывающую последовательность содержащие те же положительные члены, что и исходная последовательность (но, возможно, без нулевых членов). С для каждого п, достаточно показать неравенство для новой последовательности. Это следует непосредственно из интегральной формы, определяющей если и иначе. Действительно, есть

    и для , там держит

    (последнее неравенство эквивалентно , что верно, поскольку новая последовательность уменьшается) и, следовательно,
    .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Харди, Г. Х. (1920). «Замечание к теореме Гильберта». Mathematische Zeitschrift. 6 (3–4): 314–317. Дои:10.1007 / BF01199965.
  2. ^ Ружанский, Михаил; Сураган, Дурвудхан (2019). Неравенства Харди на однородных группах: 100 лет неравенств Харди. Birkhäuser Basel. ISBN  978-3-030-02894-7.

Рекомендации

  • Харди, Г. Х .; Littlewood J.E .; Полиа, Г. (1952). Неравенства, 2-е изд.. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9.
  • Куфнер, Алоис; Перссон, Ларс-Эрик (2003). Весовые неравенства типа Харди. Мировое научное издательство. ISBN  981-238-195-3.
  • Масмуди, Надер (2011), «О неравенстве Харди», в Дирке Шлейхере; Мальте Лакманн (ред.), Приглашение к математике, Springer Berlin Heidelberg, ISBN  978-3-642-19533-4.
  • Ружанский, Михаил; Сураган, Дурвудхан (2019). Неравенства Харди на однородных группах: 100 лет неравенств Харди. Birkhäuser Basel. ISBN  978-3-030-02895-4.

внешняя ссылка