Теорема Хартмана – Гробмана. - Hartman–Grobman theorem - Wikipedia

В математика, при изучении динамические системы, то Теорема Хартмана – Гробмана. или же теорема о линеаризации это теорема о локальном поведении динамических систем в район из точка гиперболического равновесия. Он утверждает, что линеаризация - естественное упрощение системы - эффективно предсказывает качественные модели поведения. Своим названием теорема обязана Филип Хартман и Дэвид М. Гробман.

Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи точки гиперболического равновесия качественно совпадает с поведением ее линеаризация вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что никакое собственное значение линеаризации не имеет действительной части, равной нулю. Следовательно, имея дело с такими динамическими системами, можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вокруг положений равновесия.^[1]

Основная теорема

Рассмотрим систему, развивающуюся вместе с государством. ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ которое удовлетворяет дифференциальному уравнению ${\displaystyle du/dt=f(u)}$ для некоторых гладкая карта ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$. Предположим, что карта имеет состояние гиперболического равновесия ${\displaystyle u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}}$: то есть, ${\displaystyle f(u^{*})=0}$ и Матрица якобиана ${\displaystyle A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]}$ из ${\displaystyle f}$ в состоянии ${\displaystyle u^{*}}$ не имеет собственное значение с действительной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность ${\displaystyle N}$ равновесия ${\displaystyle u^{*}}$ и гомеоморфизм ${\displaystyle h:N\to \mathbb {R} ^{n}}$, так что ${\displaystyle h(u^{*})=0}$ и такой, что по соседству ${\displaystyle N}$ то поток из ${\displaystyle du/dt=f(u)}$ является топологически сопряженный непрерывным отображением ${\displaystyle U=h(u)}$ к потоку его линеаризации ${\displaystyle dU/dt=AU}$.^[2][3][4][5]

Даже для бесконечно дифференцируемых отображений ${\displaystyle f}$, гомеоморфизм ${\displaystyle h}$ не обязательно быть гладкими или даже локально липшицевыми. Однако оказывается Гёльдер непрерывный, с показателем, зависящим от константы гиперболичности ${\displaystyle A}$.^[6]

Теорема Хартмана – Гробмана была распространена на бесконечномерные банаховы пространства, неавтономные системы. ${\displaystyle du/dt=f(u,t)}$ (потенциально стохастический) и для учета топологических различий, возникающих при наличии собственных значений с нулевой или близкой к нулю действительной частью.^{[7][8][9][10]}

Пример

Алгебра, необходимая для этого примера, легко выполняется веб-службой, которая вычисляет нормальная форма координатные преобразования систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастический.^[11]

Рассмотрим двумерную систему в переменных ${\displaystyle u=(y,z)}$ эволюционирует согласно паре связанных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad {\text{and}}\quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}.}$

Прямым вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы находится в начале координат, то есть ${\displaystyle u^{*}=0}$. Координатное преобразование, ${\displaystyle u=h^{-1}(U)}$ куда ${\displaystyle U=(Y,Z)}$, данный

${\displaystyle {\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}}$

это плавная карта между исходным ${\displaystyle u=(y,z)}$ и новые ${\displaystyle U=(Y,Z)}$ координаты, по крайней мере, около положения равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система переходит в свою линеаризацию

${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad {\text{and}}\quad {\frac {dZ}{dt}}=Z.}$

То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.

Смотрите также

• Теорема о стабильном многообразии

Рекомендации

1. Эроусмит, Д. К .; Место, К. М. (1992). «Теорема о линеаризации». Динамические системы: дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение. Лондон: Чепмен и Холл. С. 77–81. ISBN  978-0-412-39080-7.
2. Гробман Д. М. (1959). "О гомеоморфизмы систем дифференциальных уравнений". Доклады Академии Наук СССР. 128: 880–881.
3. Хартман, Филипп (Август 1960 г.). «Лемма теории структурной устойчивости дифференциальных уравнений». Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. Дои:10.2307/2034720. JSTOR  2034720.
4. Хартман, Филип (1960). «О локальных гомеоморфизмах евклидовых пространств». Бол. Soc. Математика. Мексикана. 5: 220–241.
5. Чикон, К. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями.. Тексты по прикладной математике. 34 (2-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-30769-5.
6. Белицкий, Генрих; Райскин, Виктория (2011). «О теореме Гробмана – Хартмана в классе α-Гёльдера для банаховых пространств» (PDF). Рабочий документ.
7. Aulbach, B .; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». In Aulbach, B .; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам. Сингапур: World Scientific. С. 45–119. ISBN  978-981-02-2548-3.
8. Aulbach, B .; Ваннер, Т. (1999). "Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах". В Lakshmikantham, V .; Мартынюк, А.А. (ред.). Успехи теории устойчивости в конце ХХ века. Гордон и Брич. CiteSeerX  10.1.1.45.5229. ISBN  978-0-415-26962-9.
9. Aulbach, B .; Ваннер, Т. (2000). "Теорема Хартмана – Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах". Нелинейный анализ. 40 (1–8): 91–104. Дои:10.1016 / S0362-546X (00) 85006-3.
10. Робертс, А. Дж. (2008). «Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые режимы в стохастических динамических системах». Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:математика / 0701623. Bibcode:2008PhyA..387 ... 12R. Дои:10.1016 / j.physa.2007.08.023.
11. Робертс, А. Дж. (2007). «Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений». Архивировано из оригинал 9 ноября 2013 г.

дальнейшее чтение

• Ирвин, Майкл С. (2001). «Линеаризация». Гладкие динамические системы. World Scientific. С. 109–142. ISBN  981-02-4599-8.
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы. (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 119–127. ISBN  0-387-95116-4.
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос. Бока-Ратон: CRC Press. С. 156–165. ISBN  0-8493-8493-1.

внешняя ссылка

• Coayla-Teran, E .; Mohammed, S .; Руффино, П. (февраль 2007 г.). "Теоремы Хартмана – Гробмана о стационарных гиперболических траекториях" (PDF). Дискретные и непрерывные динамические системы. 17 (2): 281–292. Дои:10.3934 / dcds.2007.17.281. Архивировано из оригинал (PDF) на 2007-07-24. Получено 2007-03-09.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• «Самая захватывающая теорема в прикладной математике». Scientific American.