Соотношение Хассе-Давенпорта - Hasse–Davenport relation

В Отношения Хассе-Давенпорта, представлен Давенпорт и Hasse  (1935 ), два связанных тождества для Суммы Гаусса, один назвал Подъемное соотношение Хассе-Давенпорта, а другой назвал Связь продукции Hasse – Davenport. Отношение подъема Хассе – Давенпорта является равенством в теория чисел связывающие суммы Гаусса по разным полям. Вейль (1949) использовал его для вычисления дзета-функции Гиперповерхность Ферма через конечное поле, что мотивировало Гипотезы Вейля.

Суммы Гаусса являются аналогами гамма-функция над конечными полями, а соотношение произведения Хассе – Дэвенпорта является аналогом формулы умножения Гаусса

${displaystyle Gamma (z);Gamma left(z+{frac {1}{k}}ight);Gamma left(z+{frac {2}{k}}ight)cdots Gamma left(z+{frac {k-1}{k}}ight)=(2pi )^{frac {k-1}{2}};k^{1/2-kz};Gamma (kz).,!}$

Фактически соотношение произведения Хассе – Дэвенпорта следует из аналогичной формулы умножения для п-адические гамма-функции вместе с Формула Гросса – Коблица из Гросс и Коблиц (1979).

Подъемное соотношение Хассе-Давенпорта

Позволять F конечное поле с q элементы и F_s поле такое, что [F_s:F] = s, то есть, s это измерение из векторное пространство F_s над F.

Позволять ${displaystyle alpha }$ быть элементом ${displaystyle F_{s}}$.

Позволять ${displaystyle chi }$ быть мультипликативный персонаж из F к комплексным числам.

Позволять ${displaystyle N_{F_{s}/F}(alpha )}$ быть нормой от ${displaystyle F_{s}}$ к ${displaystyle F}$ определяется

${displaystyle N_{F_{s}/F}(alpha ):=alpha cdot alpha ^{q}cdots alpha ^{q^{s-1}}.,}$

Позволять ${displaystyle chi '}$ быть мультипликативным символом на ${displaystyle F_{s}}$ который является составом ${displaystyle chi }$ с норма из F_s к F, то есть

${displaystyle chi '(alpha ):=chi (N_{F_{s}/F}(alpha ))}$

Пусть ψ - некоторый нетривиальный аддитивный характер F, и разреши ${displaystyle psi '}$ быть аддитивным персонажем на ${displaystyle F_{s}}$ который является составом ${displaystyle psi }$ с след из F_s к F, то есть

${displaystyle psi '(alpha ):=psi (Tr_{F_{s}/F}(alpha ))}$

Позволять

${displaystyle au (chi ,psi )=sum _{xin F}chi (x)psi (x)}$

быть суммой Гаусса по F, и разреши${displaystyle au (chi ',psi ')}$ быть суммой Гаусса по ${displaystyle F_{s}}$.

Тогда Подъемное соотношение Хассе-Давенпорта утверждает, что

${displaystyle (-1)^{s}cdot au (chi ,psi )^{s}=- au (chi ',psi ').}$

Связь продукции Hasse – Davenport

В соотношении продуктов Хассе – Давенпорта говорится, что

${displaystyle prod _{a{mod {m}}} au (chi ho ^{a},psi )=-chi ^{-m}(m) au (chi ^{m},psi )prod _{a{mod {m}}} au (ho ^{a},psi )}$

где ρ - мультипликативный характер точного порядка м разделение q–1 и χ - любой мультипликативный характер, а ψ - нетривиальный аддитивный характер.

Рекомендации

• Давенпорт, Гарольд; Хассе, Гельмут (1935), "Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (О нулях дзета-функций сравнения в некоторых циклических случаях)", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 172: 151–182, ISSN  0075-4102, Zbl  0010.33803
• Gross, Benedict H .; Коблиц, Нил (1979), «Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция», Анналы математики, Вторая серия, 109 (3): 569–581, Дои:10.2307/1971226, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971226, МИСТЕР  0534763
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел. Springer. стр.158 –162. ISBN  978-0-387-97329-6.
• Вайль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях», Бюллетень Американского математического общества, 55 (5): 497–508, Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques / Collected Papers Андре Вейлем ISBN  0-387-90330-5