Теорема Гейне – Кантора - Heine–Cantor theorem

Не путать с Теорема кантора.

В математика, то Теорема Гейне – Кантора, названный в честь Эдуард Гейне и Георг Кантор, утверждает, что если ж : M → N это непрерывная функция между двумя метрические пространства, и M является компактный, тогда ж является равномерно непрерывный. Важным частным случаем является то, что каждая непрерывная функция из закрыто ограниченный интервал к действительные числа равномерно непрерывно.

Доказательство

Предположим, что ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ два метрических пространства с метриками ${\displaystyle d_{M}}$ и ${\displaystyle d_{N}}$, соответственно. Предположим далее, что ${\displaystyle f:M\to N}$ непрерывно, и что ${\displaystyle M}$ компактный. Мы хотим показать, что ${\displaystyle f}$ равномерно непрерывно, т.е. для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Существует ${\displaystyle \delta >0}$ так что по всем точкам ${\displaystyle x,y}$ в домен ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ подразумевает, что ${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Исправить некоторые ${\displaystyle \varepsilon >0}$. По непрерывности для любой точки ${\displaystyle x}$ в домене ${\displaystyle M}$, есть некоторые ${\displaystyle \delta _{x}>0}$ такой, что ${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon /2}$ когда ${\displaystyle y}$ внутри ${\displaystyle \delta _{x}}$ из ${\displaystyle x}$.

Позволять ${\displaystyle U_{x}}$ быть открыто ${\displaystyle \delta _{x}/2}$-окрестности ${\displaystyle x}$, т.е. набор

${\displaystyle U_{x}=\left\{y\mid d_{M}(x,y)<{\frac {1}{2}}\delta _{x}\right\}.}$

Поскольку каждая точка ${\displaystyle x}$ содержится в собственном ${\displaystyle U_{x}}$, мы находим, что коллекция ${\displaystyle \{U_{x}\mid x\in M\}}$ это открытый крышка из ${\displaystyle M}$. С ${\displaystyle M}$ компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие ${\displaystyle \{U_{x_{1}},U_{x_{2}},\ldots ,U_{x_{n}}\}}$ куда ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in M}$. Каждый из этих открытых наборов имеет соответствующий радиус ${\displaystyle \delta _{x_{i}}/2}$. Давайте теперь определим ${\displaystyle \delta =\min _{1\leq i\leq n}\delta _{x_{i}}/2}$, т.е. минимальный радиус этих открытых множеств. Поскольку у нас есть конечное число положительных радиусов, этот минимум ${\displaystyle \delta }$ четко определен и положителен. Теперь покажем, что это ${\displaystyle \delta }$ работает для определения равномерной непрерывности.

Предположим, что ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ для любых двоих ${\displaystyle x,y}$ в ${\displaystyle M}$. Поскольку множества ${\displaystyle U_{x_{i}}}$ формируют открытое (под) прикрытие нашего пространства ${\displaystyle M}$, мы знаем это ${\displaystyle x}$ должен находиться внутри одного из них, скажем ${\displaystyle U_{x_{i}}}$. Тогда у нас есть это ${\displaystyle d_{M}(x,x_{i})<{\frac {1}{2}}\delta _{x_{i}}}$. В неравенство треугольника тогда следует, что

${\displaystyle d_{M}(x_{i},y)\leq d_{M}(x_{i},x)+d_{M}(x,y)<{\frac {1}{2}}\delta _{x_{i}}+\delta \leq \delta _{x_{i}},}$

подразумевая, что ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ оба не более ${\displaystyle \delta _{x_{i}}}$ далеко от ${\displaystyle x_{i}}$. По определению ${\displaystyle \delta _{x_{i}}}$, это означает, что ${\displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(x))}$ и ${\displaystyle d_{N}(f(x_{i}),f(y))}$ оба меньше, чем ${\displaystyle \varepsilon /2}$. Тогда применение неравенства треугольника дает желаемое

${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leq d_{N}(f(x_{i}),f(x))+d_{N}(f(x_{i}),f(y))<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

Для альтернативного доказательства в случае ${\displaystyle M=[a,b]}$, закрытый интервал, см. статью Нестандартное исчисление.

внешняя ссылка

• Теорема Гейне – Кантора в PlanetMath.
• Доказательство теоремы Гейне – Кантора. в PlanetMath.