Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации - Helmholtz minimum dissipation theorem

В механика жидкости, Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации (названный в честь Герман фон Гельмгольц кто опубликовал его в 1868 году^[1][2]) утверждает, что устойчивый Движение потока Стокса из несжимаемая жидкость имеет наименьшую скорость диссипации, чем любое другое несжимаемое движение с той же скоростью на границе.^[3][4] Теорема также была изучена Дидерик Кортевег в 1883 г.^[5] и по Лорд Рэйли в 1913 г.^[6]

Эта теорема действительно верна для любого движения жидкости, где нелинейным членом уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости можно пренебречь или, что то же самое, когда ${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$, куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ это завихренность вектор. Например, теорема также применима к однонаправленным потокам, таким как Поток Куэтта и Течение Хагена – Пуазейля, где нелинейные члены исчезают автоматически.

Математическое доказательство

Позволять ${\displaystyle \mathbf {u} ,\ p}$ и ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})}$ скорость, давление и тензор скорости деформации из Стокса поток и ${\displaystyle \mathbf {u} ',\ p'}$ и ${\displaystyle E'={\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} '+(\nabla \mathbf {u} ')^{T})}$ - скорость, давление и тензор скорости деформации любого другого несжимаемого движения с ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} '}$ на границе. Позволять ${\displaystyle u_{i}}$ и ${\displaystyle e_{ij}}$ - представление тензора скорости и деформации в индексное обозначение, где индекс идет от одного до трех.

Рассмотрим следующий интеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}\int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV&=\int {\frac {\partial (u_{i}'-u_{i})}{\partial x_{j}}}e_{ij}\ dV\end{aligned}}}$

где в приведенном выше интеграле остается только симметричная часть тензора деформации, потому что сжатие симметричного и антисимметричного тензора тождественно равно нулю. Интеграция по частям дает

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=\int (u_{i}'-u_{i})e_{ij}n_{j}\ dA-{\frac {1}{2}}\int (u_{i}'-u_{i})(\nabla ^{2}u_{i})\ dV.}$

Первый интеграл равен нулю, потому что скорости на границах двух полей равны. Теперь о втором интеграле, поскольку ${\displaystyle u_{i}}$ удовлетворяет Уравнение Стокса, т.е. ${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}=\nabla p}$, мы можем написать

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=-{\frac {1}{2\mu }}\int (u_{i}'-u_{i}){\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\ dV.}$

Снова делаем Интеграция по частям дает

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=-{\frac {1}{2\mu }}\int p(u_{i}'-u_{i})n_{i}\ dA+{\frac {1}{2\mu }}\int p{\frac {\partial (u_{i}'-u_{i})}{\partial x_{i}}}\ dV.}$

Первый интеграл равен нулю, потому что скорости равны, а второй интеграл равен нулю, потому что течение в несжимаемой среде, т.е. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot \mathbf {u} '=0}$. Следовательно, у нас есть тождество, которое говорит:

${\displaystyle \int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=0.}$

Суммарная скорость вязкой диссипации энергии по всему объему поля ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ дан кем-то

${\displaystyle D'=\int \Phi 'dV=2\mu \int e_{ij}'e_{ij}'\ dV=2\mu \int [e_{ij}e_{ij}+e_{ij}'e_{ij}'-e_{ij}e_{ij}]\ dV}$

и после перестановки с использованием указанного выше тождества мы получаем

${\displaystyle D'=2\mu \int [e_{ij}e_{ij}+(e_{ij}'-e_{ij})(e_{ij}'-e_{ij})]\ dV}$

Если ${\displaystyle D}$ - полная скорость вязкой диссипации энергии во всем объеме поля ${\displaystyle \mathbf {u} }$, то имеем

${\displaystyle D'=D+2\mu \int (e_{ij}'-e_{ij})(e_{ij}'-e_{ij})\ dV}$.

Второй интеграл неотрицателен и равен нулю, только если ${\displaystyle e_{ij}=e_{ij}'}$, тем самым доказывая теорему.

Теорема Пуазейля о потоке

Теорема Пуазейля о потоке^[7] является следствием теоремы Гельмгольца утверждает, что Устойчивый ламинарный поток несжимаемой вязкой жидкости по прямой трубе произвольного поперечного сечения характеризуется тем свойством, что диссипация ее энергии является наименьшей среди всех ламинарных (или пространственно-периодических) потоков по трубе, которые имеют одинаковый общий поток.

Рекомендации

1. Гельмгольц, Х. (1868). Верх. натургист.-мед. Вер. Wiss. Абх, 1, 223.
2. фон Гельмгольц, Х. (1868). Zur Theorie der stationären Ströme в reibenden Flüssigkeiten. Верх. Натур.-Мед. Вер. Хайдельб, 11, 223.
3. Лэмб, Х. (1932). Гидродинамика. Пресса Кембриджского университета.
4. Бэтчелор, Г. К. (2000). Введение в гидродинамику. Пресса Кембриджского университета.
5. Кортевег, Д. Дж. (1883). XVII. Об общей теореме об устойчивости движения вязкой жидкости. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 16 (98), 112-118.
6. Рэлей, Л. (1913). LXV. О движении вязкой жидкости. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 26 (154), 776-786.
7. Серрин, Дж. (1959). Математические основы классической механики жидкости. In Fluid Dynamics I / Strömungsmechanik I (стр. 125-263). Шпрингер, Берлин, Гейдельберг.