Гельмгольц взаимность - Helmholtz reciprocity

В Гельмгольц взаимность Принцип описывает, как луч света и его обратный луч сталкиваются с согласованными оптическими приключениями, такими как отражения, преломления и поглощения в пассивной среде или на границе раздела. Это не относится к движущимся, нелинейным или магнитным носителям.

Например, входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсию друг друга,^[1] не затрагивая функция двунаправленного распределения коэффициента отражения (BRDF)^[2] исход. Если бы свет измерялся датчиком, и этот свет отражался бы от материала с помощью BRDF, который подчиняется принципу взаимности Гельмгольца, можно было бы поменять местами датчик и источник света, и измерение поток останется равным.

В схеме компьютерной графики глобальное освещение, принцип взаимности Гельмгольца важен, если алгоритм глобального освещения меняет световые пути на противоположные (например, трассировка лучей по сравнению с классической трассировкой светового пути).

Физика

Принцип обращения-взаимности Стокса – Гельмгольца.^{[3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][1][14][15][16][17][18][19][20][21][22]} было заявлено частично Стокса (1849)^[3] и относительно поляризации на стр. 169 ^[4] из Гельмгольца с Handbuch der Physiologischen Optik 1856 г., цитируется Кирхгоф^[8] и по Планк.^[13]

Как цитирует Кирхгоф в 1860 году, этот принцип переводится следующим образом:

Луч света, исходящий из точки 1, достигает точки 2 после любого количества преломлений, отражений и т. Д. Пусть в точке 1 любые две перпендикулярные плоскости а₁, б₁ проводиться по направлению луча; и пусть колебания луча разделятся на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Взять похожие самолеты а₂, б₂ в луче в точке 2; тогда может быть продемонстрировано следующее предложение. Если когда количество света я поляризованный в плоскости а₁ идет от 1 в направлении данного луча, эта часть k из них свет, поляризованный в а₂ достигает 2, то, наоборот, если количество света я поляризованный в а₂ исходит от 2, такое же количество света k поляризованный в а₁ [Опубликованный здесь текст Кирхгофа, исправленный редактором Википедии для согласования с текстом Гельмгольца 1867 года] придет к 1.^[8]

Проще говоря, принцип гласит, что источник и точку наблюдения можно переключать без изменения значения наблюдаемой волновой функции. Другими словами, этот принцип математически доказывает утверждение: «Если я вижу тебя, ты можешь видеть меня». Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, когда эксперименты являются проверкой предложенного закона.^[1][12]

В его авторитетном доказательстве^[23] о действительности Закон Кирхгофа о равенстве излучательной способности излучения и поглощательной способности,^[24] Планк неоднократно и существенно использует принцип взаимности Стокса – Гельмгольца. Рэлей изложил основную идею взаимности как следствия линейности распространения малых колебаний, состоящих из синусоидальных колебаний в линейной среде.^{[9][10][11][12]}

Когда на пути луча есть магнитные поля, принцип неприменим.^[4] Отклонение оптической среды от линейности также вызывает отклонение от взаимности Гельмгольца, а также наличие движущихся объектов на пути луча.

Взаимность Гельмгольца первоначально относилась к свету. Это особая форма электромагнетизма, которую можно назвать излучением в дальней зоне. Для этого электрическое и магнитное поля не нуждаются в различном описании, потому что они распространяются, питая друг друга равномерно. Таким образом, принцип Гельмгольца представляет собой более простой описанный частный случай электромагнитная взаимность в целом, который описывается различными учетами взаимодействующих электрических и магнитных полей. Принцип Гельмгольца основывается главным образом на линейности и суперпозиции светового поля, и он имеет близкие аналоги в неэлектромагнитных линейных распространяющихся полях, таких как звук. Он был открыт до того, как стала известна электромагнитная природа света.^{[9][10][11][12]}

Теорема взаимности Гельмгольца была строго доказана несколькими способами:^[25][26][27] обычно используют квантово-механические симметрия обращения времени. Поскольку эти более математически сложные доказательства могут умалить простоту теоремы, Погани и Тернер доказали ее всего за несколько шагов, используя Родился сериал.^[28] Предполагая, что источник света находится в точке A и точке наблюдения O, с различными точками рассеяния ${\displaystyle r_{1},r_{2},...r}$ между ними Уравнение Шредингера может использоваться для представления результирующей волновой функции в пространстве:

${\displaystyle (\bigtriangledown ^{2}+4\pi K^{2})\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=-4\pi K^{2}V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )+\delta (\mathbf {r-r_{A}} )}$

Применяя Функция Грина, указанное выше уравнение может быть решено для волновой функции в интегральной (и, следовательно, итерационной) форме:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=G(\mathbf {r,r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r,r'} V(\mathbf {r'} \Psi (\mathbf {r',r_{A}} )d\mathbf {r'} }$

куда

${\displaystyle G(\mathbf {r,r'} )=-{\frac {exp(2\pi iK|\mathbf {r-r'} |)}{|\mathbf {r-r'} |}}}$.

Далее, можно предположить, что решение внутри рассеивающей среды в точке O может быть аппроксимировано рядом Борна с использованием Борновское приближение в теории рассеяния. При этом ряды можно перебирать обычным способом для получения следующего интегрального решения:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )=G(\mathbf {r_{O},r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )V(\mathbf {r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{A}} )d\mathbf {r_{1}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{2}\int d\mathbf {r_{1}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{A}} )d\mathbf {r_{2}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{3}\int d\mathbf {r_{1}} \int d\mathbf {r_{2}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{3}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )V(\mathbf {r_{3}} )G(\mathbf {r_{3},r_{A}} )d\mathbf {r_{3}} }$

${\displaystyle +...}$

Снова отмечая форму функции Грина, очевидно, что переключение ${\displaystyle \mathbf {r_{A}} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r_{O}} }$ в приведенной выше форме не изменит результат; то есть, ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{A},r_{O}} )=\Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )}$, которое является математическим утверждением теоремы взаимности: переключение источника света A и точки наблюдения O не изменяет наблюдаемую волновую функцию.

Приложения

Одно простое, но важное следствие этого принципа взаимности заключается в том, что любой свет, направленный через линзу в одном направлении (от объекта к плоскости изображения), оптически равен своему сопряженному, то есть свет направляется через ту же установку, но в противоположном направлении. Электрон, фокусируемый через какой-либо ряд оптических компонентов, не «заботится», с какого направления он приходит; до тех пор, пока с ним происходят одни и те же оптические события, результирующая волновая функция будет такой же. По этой причине этот принцип имеет важные приложения в области просвечивающая электронная микроскопия (ПЭМ). Представление о том, что сопряженные оптические процессы дают эквивалентные результаты, позволяет пользователю микроскопа глубже понимать и иметь значительную гибкость в методах, включающих электронная дифракция, Узоры кикучи,^[29] темнопольные изображения,^[28] и другие.

Важно отметить, что в ситуации, когда электроны теряют энергию после взаимодействия с рассеивающей средой образца, симметрия относительно обращения времени отсутствует. Следовательно, взаимность действительно применима только в ситуациях упругое рассеяние. В случае неупругое рассеяние с небольшими потерями энергии можно показать, что взаимность может использоваться для аппроксимации интенсивности (а не амплитуды волны).^[28] Таким образом, в очень толстых образцах или образцах, в которых преобладает неупругое рассеяние, преимущества использования взаимности для ранее упомянутых приложений ПЭМ теряют силу. Кроме того, экспериментально было продемонстрировано, что взаимность действительно применяется в ТЕА при правильных условиях,^[28] но физика, лежащая в основе принципа, гласит, что взаимность может быть действительно точной только в том случае, если передача луча происходит только через скалярные поля, то есть без магнитных полей. Таким образом, мы можем сделать вывод, что искажения взаимности из-за магнитных полей электромагнитных линз в ПЭМ можно игнорировать в типичных условиях эксплуатации.^[30] Однако пользователи должны быть осторожны, чтобы не применять взаимность к методам магнитного изображения, ПЭМ ферромагнитных материалов или посторонним ситуациям ПЭМ без тщательного рассмотрения. Обычно полюсные наконечники для ПЭМ конструируются с использованием анализа методом конечных элементов генерируемых магнитных полей для обеспечения симметрии.

Системы магнитных линз использовались в ПЭМ для достижения разрешения в атомном масштабе при сохранении среды, свободной от магнитного поля в плоскости образца,^[31] но способ сделать это по-прежнему требует большого магнитного поля над (и под) образцом, что сводит на нет любые ожидаемые эффекты усиления взаимности. Эта система работает, помещая образец между передним и задним полюсными наконечниками линз объектива, как в обычном ПЭМ, но эти два полюсных наконечника сохраняются в точной зеркальной симметрии относительно плоскости образца между ними. Между тем полярности их возбуждения прямо противоположны, создавая магнитные поля, которые почти идеально компенсируются в плоскости образца. Однако, поскольку они не сокращаются где-либо еще, траектория электрона должна проходить через магнитные поля.

Взаимность также может быть использована для понимания основного различия между ТЕА и растровая просвечивающая электронная микроскопия (STEM), который в принципе характеризуется переключением положения источника электронов и точки наблюдения. По сути, это то же самое, что и изменение времени в ПЭМ, так что электроны движутся в противоположном направлении. Следовательно, при соответствующих условиях (в которых действительно применяется взаимность) знание изображений с помощью ПЭМ может быть полезно при получении и интерпретации изображений с помощью STEM.

Рекомендации

1. Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и эмиттанса, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, ISBN  0-521-30789-9, Раздел 10C, страницы 263-264.
2. Хапке, Б. (1993). Теория спектроскопии отражения и эмиттанса, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, ISBN  0-521-30789-9, Главы 8–9, страницы 181–260.
3. Стокса, Г. (1849). О совершенной черноте центрального пятна в кольцах Ньютона и о проверке формул Френеля для интенсивностей отраженных и преломленных лучей, Кембриджский и Дублинский математический журнал, новая серия, 4: 1-14.
4. Гельмгольц, Х. фон (1856 г.). Handbuch der Physiologischen Optik, первое издание процитировано Планком, Леопольдом Воссом, Лейпциг, том 1, страница 169.[1]
5. Гельмгольц, Х. фон (1903). Vorlesungen über Theorie der Wärmeпод редакцией Ф. Рихарца, Иоганна Амброзиуса Барта, Лейпциг, страницы 158–162.
6. Гельмгольц, Х. (1859/60). Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden, Crelle's Журнал für die reine und angewandte Mathematik 57(1): 1-72, стр.29.
7. Стюарт, Б. (1858). Отчет о некоторых экспериментах по лучистому теплу, включающих расширение теории обмена профессора Прево, Пер. Рой. Soc. Эдинбург 22 (1): 1-20, стр. 18.
8. Кирхгоф, Г. (1860). О связи между излучающей и поглощающей способностями различных тел для света и тепла. Анна. Phys., 119: 275-301, на странице 287 [2], перевод Ф. Гатри, Фил. Mag. Серия 4, 20: 2-21, на странице 9.
9. Strutt, J.W. (Лорд Рэлей) (1873). Некоторые общие теоремы, относящиеся к колебаниям, Proc. Лондон. Математика. Soc. 4: 357-368, страницы 366-368.
10. Рэлей, лорд (1876 г.). О применении принципа взаимности к акустике, Proc. Рой. Soc. А, 25: 118-122.
11. Стратт, Дж. У., барон Рэлей (1894/1945). Теория звука, второе пересмотренное издание, Довер, Нью-Йорк, том 1, разделы 107-111a.
12. Рэлей, лорд (1900). О законе взаимности при диффузном отражении Фил. Mag. серия 5, 49: 324-325.
13. Планк, М. (1914). Теория теплового излучения, второе издание, переведенное М. Мазиусом, «Сын и компания П. Блэкистона», Филадельфия, стр. 35.
14. Миннарт, М. (1941). Принцип взаимности в лунной фотометрии, Астрофизический журнал 93: 403-410.[3]
15. Махан, А. (1943). Математическое доказательство принципа обратимости Стокса, J. Opt. Soc. Являюсь., 33(11): 621-626.
16. Чандрасекхар, С. (1950). Радиационный перенос, Oxford University Press, Oxford, страницы 20-21, 171-177, 182.
17. Тингвальдт, К. (1952). Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik, Optik, 9(6): 248-253.
18. Леви, Л. (1968). Прикладная оптика: руководство по проектированию оптических систем, 2 тома, Wiley, New York, volume 1, page 84.
19. Кларк, Ф.Дж., Парри, Д.Дж. (1985). Взаимность Гельмгольца: ее актуальность и применение в рефлектометрии. Исследования и технологии освещения, 17(1): 1-11.
20. Лекнер, Дж. (1987). Теория отражения, Мартинус Нийхофф, Дордрехт, ISBN  90-247-3418-5, страницы 33-37.[4]
21. Борн М., Вольф Э. (1999). Принципы оптики: Электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света., 7-е издание, Cambridge University Press, ISBN  0-521-64222-1, стр. 423.
22. Поттон, Р.Дж. (2004), Взаимность в оптике, Представитель на Prog. Phys. 76: 717-754 [5].
23. Планк, М. (1914). Теория теплового излучения, второе издание, переведенное М. Масиусом, «Сын и компания П. Блэкистона», Филадельфия, страницы 35, 38,39.
24. Кирхгоф, Г. (1860). О связи между излучающей и поглощающей способностями различных тел для света и тепла. Анна. Phys., 119: 275-301 [6] в переводе Ф. Гатри, Фил. Mag. Серия 4, 20:2-21.
25. Гельмгольц, Герман фон (1867). а, Герман фон Гельмгольц и др. Handbuch der Physiologischen Optik (на немецком). Лейпциг: Л. Восс.
26. Уэллс, Оливер С. (23 июля 2008 г.). «Взаимодействие между отражательным электронным микроскопом и сканирующим электронным микроскопом с малыми потерями». Письма по прикладной физике. 37 (6): 507–510. Дои:10.1063/1.91992. ISSN  0003-6951.
27. Шпиндлер, Поль (де Хемниц) Автор текстов; Мейер, Георг (1857-1950) Автор текстов; Меербург, Якоб Хендрик Auteur du Texte (1860). "Annalen der Physik". Галлика. Получено 11 декабря, 2019.
28. Поганы, А.П .; Тернер, П. С. (23 января 1968 г.). «Взаимодействие в электронной дифракции и микроскопии». Acta Crystallographica Раздел A. 24 (1): 103–109. Дои:10.1107 / S0567739468000136. ISSN  1600-5724.
29. Кайнума, Ю. (10 мая 1955 г.). «Теория узоров Кикучи». Acta Crystallographica. 8 (5): 247–257. Дои:10.1107 / S0365110X55000832. ISSN  0365-110X.
30. Хрен, Джон Дж; Гольдштейн, Иосиф I; Джой, Дэвид С., ред. (1979). Введение в аналитическую электронную микроскопию | SpringerLink (PDF). Дои:10.1007/978-1-4757-5581-7. ISBN  978-1-4757-5583-1.
31. Shibata, N .; Kohno, Y .; Накамура, А .; Morishita, S .; Секи, Т .; Кумамото, А .; Sawada, H .; Matsumoto, T .; Финдли, С. Д .; Икухара Ю. (24 мая 2019 г.). «Электронная микроскопия с атомным разрешением в среде без магнитного поля». Nature Communications. 10 (1): 2308. Дои:10.1038 / s41467-019-10281-2. ISSN  2041-1723. ЧВК  6534592. PMID  31127111.

Смотрите также

• Взаимность (электромагнетизм)