Эрмитов вейвлет - Hermitian wavelet

Эрмитовы вейвлеты семья непрерывные вейвлеты, используемый в непрерывное вейвлет-преобразование. В ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ Эрмитов вейвлет определяется как ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ производная от Гауссово распределение:

${\displaystyle \Psi _{n}(t)=(2n)^{-{\frac {n}{2}}}c_{n}He_{n}\left(t\right)e^{-{\frac {1}{2n}}t^{2}}}$

куда ${\displaystyle He_{n}\left({x}\right)}$ обозначает ${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$ Многочлен Эрмита.

Нормировочный коэффициент ${\displaystyle c_{n}}$ дан кем-то:

${\displaystyle c_{n}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}\Gamma (n+{\frac {1}{2}})\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}{\sqrt {\pi }}2^{-n}(2n-1)!!\right)^{-{\frac {1}{2}}}\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Префактор ${\displaystyle C_{\Psi }}$ в разрешающей способности идентичности непрерывного вейвлет-преобразования для этого вейвлета определяется выражением:

${\displaystyle C_{\Psi }={\frac {4\pi n}{2n-1}}}$

т.е. эрмитовы всплески допустимы для всех положительных ${\displaystyle n}$.

В компьютерное зрение и обработка изображений, Гауссовские производные операторы разного порядка часто используются в качестве основы для выражения различных типов визуальных операций; видеть масштабное пространство и N-струя.

Примеры эрмитовых вейвлетов:Начиная с Функция Гаусса с ${\displaystyle \mu =0,\sigma =1}$:

${\displaystyle f(t)=\pi ^{-1/4}e^{(-t^{2}/2)}}$

первые 3 производные читаются

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(t)&=-\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)}\\f''(t)&=\pi ^{-1/4}(t^{2}-1)e^{(-t^{2}/2)}\\f^{(3)}(t)&=\pi ^{-1/4}(3t-t^{3})e^{(-t^{2}/2)}\end{aligned}}}$

и их ${\displaystyle L^{2}}$ нормы ${\displaystyle ||f'||={\sqrt {2}}/2,||f''||={\sqrt {3}}/2,||f^{(3)}||={\sqrt {30}}/4}$

Итак, вейвлеты, которые являются отрицательными нормализованными производными:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{1}(t)&={\sqrt {2}}\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)}\\\Psi _{2}(t)&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\pi ^{-1/4}(1-t^{2})e^{(-t^{2}/2)}\\\Psi _{3}(t)&={\frac {2}{15}}{\sqrt {30}}\pi ^{-1/4}(t^{3}-3t)e^{(-t^{2}/2)}\end{aligned}}}$