Непрерывное вейвлет-преобразование - Continuous wavelet transform

Непрерывный вейвлет преобразование сигнала пробоя частоты. Используемый симлет с 5 исчезающими моментами.

В математика, то непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) - это формальный (т. е. нечисловой) инструмент, который обеспечивает неполноту представления сигнала, позволяя параметрам перемещения и масштаба вейвлеты постоянно меняются.

Непрерывное вейвлет-преобразование функции ${\displaystyle x(t)}$ в масштабе (а> 0) ${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+*}} }$ и переводческая ценность ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$ выражается следующим интегралом

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$$

где ${\displaystyle \psi (t)}$ является непрерывной функцией как во временной области, так и в частотной области, называемой материнским вейвлетом, а верхняя черта представляет работу комплексно сопряженный. Основная цель материнского вейвлета - предоставить функцию источника для генерации дочерних вейвлетов, которые являются просто переведенными и масштабированными версиями материнского вейвлета. Чтобы восстановить исходный сигнал ${\displaystyle x(t)}$, можно использовать первое обратное непрерывное вейвлет-преобразование.

${\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ {\frac {da}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$ это двойная функция из ${\displaystyle \psi (t)}$ и

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,d\omega }$

допустимая константа, где шляпа означает оператор преобразования Фурье. Иногда, ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)}$, то допустимая постоянная принимает вид

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,d\omega }$

Традиционно эта постоянная называется допустимой вейвлет-константой. Всплеск, допустимая константа которого удовлетворяет

${\displaystyle 0<C_{\psi }<\infty }$

называется допустимым вейвлетом. Допустимый вейвлет означает, что ${\displaystyle {\hat {\psi }}(0)=0}$, так что допустимый вейвлет должен интегрироваться до нуля. Чтобы восстановить исходный сигнал ${\displaystyle x(t)}$, можно использовать второе обратное непрерывное вейвлет-преобразование.

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ da}$

Это обратное преобразование предполагает, что вейвлет следует определять как

${\displaystyle \psi (t)=w(t)\exp(it)}$

где ${\displaystyle w(t)}$ это окно. Такой определенный вейвлет можно назвать анализирующим вейвлетом, поскольку он допускает частотно-временной анализ. Анализирующий вейвлет не является допустимым.

Масштаб

Масштабный коэффициент ${\displaystyle a}$ либо расширяет, либо сжимает сигнал. Когда коэффициент масштабирования относительно низкий, сигнал становится более сжатым, что, в свою очередь, приводит к более подробному результирующему графику. Однако недостатком является то, что низкий коэффициент масштабирования не сохраняется на протяжении всей длительности сигнала. С другой стороны, при высоком масштабном коэффициенте сигнал растягивается, что означает, что результирующий график будет представлен менее подробно. Тем не менее, обычно он длится всю продолжительность сигнала.

Свойства непрерывного вейвлет-преобразования

По определению, непрерывное вейвлет-преобразование - это свертка последовательности входных данных с набором функций, генерируемых материнским вейвлетом. Свертка может быть вычислена с помощью быстрое преобразование Фурье (БПФ) алгоритм. Обычно на выходе ${\displaystyle X_{w}(a,b)}$ является вещественной функцией, кроме случаев, когда материнский вейвлет является комплексным. Комплексный материнский вейвлет преобразует непрерывное вейвлет-преобразование в комплексную функцию. Спектр мощности непрерывного вейвлет-преобразования можно представить как ${\displaystyle |X_{w}(a,b)|^{2}}$ .

Приложения вейвлет-преобразования

Одно из самых популярных приложений вейвлет-преобразования - сжатие изображений. Преимущество использования вейвлет-кодирования при сжатии изображения заключается в том, что оно обеспечивает значительное улучшение качества изображения при более высоких степенях сжатия по сравнению с традиционными методами. Поскольку вейвлет-преобразование имеет возможность разлагать сложную информацию и шаблоны на элементарные формы, оно обычно используется в акустической обработке и распознавании образов, но также было предложено в качестве мгновенной оценки частоты.^[1] Более того, вейвлет-преобразования могут применяться в следующих областях научных исследований: обнаружение краев и углов, решение уравнений в частных производных, обнаружение переходных процессов, проектирование фильтров, ЭКГ (ЭКГ) анализ, анализ текстуры, анализ деловой информации и анализ походки.^[2] Вейвлет-преобразования также можно использовать в Электроэнцефалография (ЭЭГ) анализ данных для выявления эпилептических всплесков в результате эпилепсия.^[3] Вейвлет-преобразование также успешно использовалось для интерпретации временных рядов оползней.^[4]

Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) очень эффективно при определении коэффициента затухания колебательных сигналов (например, идентификация затухания в динамических системах). CWT также очень устойчив к шумам в сигнале.^[5]

Смотрите также

• Непрерывный вейвлет
• S преобразование
• Частотно-временной анализ

использованная литература

• А. Гроссманн и Дж. Морле, 1984, Разложение функций Харди на квадратные интегрируемые всплески постоянной формы, Soc. Int. Am. Математика. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723-736.
• Линтао Лю и Хоутсе Сюй (2012) «Инверсия и нормализация частотно-временного преобразования» AMIS 6 № 1S с. 67S-74S.
• Стефан Маллат, "Вейвлет-тур по обработке сигналов", 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• Дин, Цзянь-Цзюн (2008), Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование, просмотрен 19 января 2008 г.
• Поликар, Роби (2001), Учебник по вейвлетам, просмотрен 19 января 2008 г.
• WaveMetrics (2004 г.), Частотно-временной анализ, просмотрен 18 января 2008 г.
• Валенс, Клеменс (2004), Действительно дружелюбное руководство по вейвлетам, просмотр 18 сентября 2018 г.]
• Непрерывное вейвлет-преобразование в системе Mathematica
• Леваль, Жак: Непрерывное вейвлет-преобразование^{[постоянная мертвая ссылка ]}, просмотрен 6 февраля 2010

1. Sejdic, E .; Джурович, И .; Станкович, Л. (август 2008 г.). "Количественный анализ характеристик скалограммы как мгновенного оценщика частоты". Транзакции IEEE при обработке сигналов. 56 (8): 3837–3845. Дои:10.1109 / TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X.
2. «Новый метод оценки длины шага с помощью акселерометров сети локализации тела», IEEE BioWireless 2011 г., стр. 79-82
3. Иранманеш, саам; Родригес-Вильегас, Эстер (2017). «Аналоговый чип уменьшения данных мощностью 950 нВт для носимых систем ЭЭГ при эпилепсии». Журнал IEEE по твердотельным схемам. 52 (9): 2362–2373. Дои:10.1109 / JSSC.2017.2720636. HDL:10044/1/48764.
4. Tomás, R .; Ли, З .; Lopez-Sanchez, J.M .; Liu, P .; Синглтон, А. (1 июня 2016 г.). «Использование вейвлет-инструментов для анализа сезонных колебаний на основе данных временных рядов InSAR: пример оползня Хуантупо» (PDF). Оползни. 13 (3): 437–450. Дои:10.1007 / s10346-015-0589-y. HDL:10045/62160. ISSN  1612-510X.
5. Славян, Я. и Симоновски, Я и М. Болтезар, Идентификация демпфирования с использованием непрерывного вейвлет-преобразования: приложение к реальным данным