Карандаш Гессен - Hesse pencil - Wikipedia

В математике сизигетический карандаш или же Карандаш Гессен, названный в честь Отто Гессе, это карандаш (одномерное семейство) кубическая плоскость эллиптические кривые в комплексная проективная плоскость, определяемый уравнением

${\displaystyle \lambda (x^{3}+y^{3}+z^{3})+\mu xyz=0.}$

Каждая кривая в семействе определяется парой значений параметров (${\displaystyle \lambda ,\mu }$) (не оба нуля) и состоит из точек на плоскости, однородные координаты ${\displaystyle (x,y,z)}$ удовлетворяют уравнению для этих параметров. Умножение обоих ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ тем же скаляр не изменяет кривую, поэтому существует только одна степень свободы при выборе кривой из карандаша, но двухпараметрическая форма, приведенная выше, позволяет либо ${\displaystyle \lambda }$ или же ${\displaystyle \mu }$ (но не оба сразу), чтобы они были установлены на ноль.

Каждая кривая карандаша проходит через девять точек комплексная проективная плоскость чей однородные координаты - некоторая перестановка 0, –1 и a кубический корень из единицы. Есть три корня из единицы и шесть перестановок на корень, что дает 18 вариантов для однородных координат каждой точки, но они эквивалентны в парах, дающих только девять точек. Семейство кубиков через эти девять точек образует карандаш Гессе. В более общем смысле, можно заменить комплексные числа любым полем, содержащим кубический корень из единицы, и определить пучок Гессе над этим полем как семейство кубиков, проходящих через эти девять точек.

Девять общих точек карандаша Гессе - это точки перегиба каждого кубика карандаша. Любая линия, которая проходит как минимум через две из этих девяти точек, проходит ровно через три из них; девять точек и двенадцать линий через тройки точек образуют Конфигурация Гессен.

Каждая эллиптическая кривая бирационально эквивалентный кривой карандаша Гессе; это Гессенская форма эллиптической кривой. Однако параметры (${\displaystyle \lambda ,\mu }$) гессенской формы может принадлежать поле расширения поля определения исходной кривой.

Рекомендации

• Артебани, Микела; Долгачев Игорь (2009), «Пучок Гессе плоских кубических кривых», L'Enseignement Mathématique, 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv:математика / 0611590, Дои:10.4171 / lem / 55-3-3, ISSN  0013-8584, МИСТЕР  2583779
• Гроув, Чарльз Клейтон (1906), Сизигетический карандаш кубиков с новой геометрической разработкой Hesse Group, Балтимор, штат Мэриленд.