Проблема скрытой подгруппы - Hidden subgroup problem

В проблема скрытой подгруппы (HSP) является темой исследования в математика и теоретическая информатика. Фреймворк фиксирует такие проблемы, как факторинг, дискретный логарифм, изоморфизм графов, а кратчайшая векторная задача. Это делает его особенно важным в теории квантовых вычислений, потому что Квантовый алгоритм Шора для факторизации по существу эквивалентна проблеме скрытой подгруппы для конечные абелевы группы, а остальные задачи относятся к конечным неабелевым группам.

Постановка задачи

Учитывая группа грамм, а подгруппа ЧАС ≤ грамм, и набор Икс, мы говорим функцию ж : грамм → Икс прячется подгруппа ЧАС если для всех грамм₁, грамм₂ ∈ грамм, ж(грамм₁) = ж(грамм₂) если и только если грамм₁ЧАС = грамм₂ЧАС. Эквивалентно функция ж постоянно на смежные классы из ЧАС, в то время как между разными смежными классами ЧАС.

Проблема скрытой подгруппы: Позволять грамм быть группой, Икс конечное множество, и ж : грамм → Икс функция, скрывающая подгруппу ЧАС ≤ грамм. Функция ж дается через оракул, который использует О(журнал |грамм| + журнал |Икс|) бит. Используя информацию, полученную при оценке ж с помощью своего оракула определите генераторную установку для ЧАС.

Особый случай - когда Икс это группа и ж это групповой гомоморфизм в таком случае ЧАС соответствует ядро из ж.

Мотивация

Проблема скрытых подгрупп особенно важна в теории квантовые вычисления по следующим причинам.

• Квантовый алгоритм Шора для факторинга и дискретный логарифм (а также несколько его расширений) полагается на способность квантовых компьютеров решать HSP для конечные абелевы группы.
• Наличие эффективных квантовые алгоритмы для СЧЛ наверняка неабелевы группы подразумевает эффективные квантовые алгоритмы для решения двух основных проблем: проблема изоморфизма графов и некоторые кратчайшие векторные задачи (СВП) в решетках. Точнее, эффективный квантовый алгоритм HSP для симметричная группа дала бы квантовый алгоритм для изоморфизма графов.^[1] Эффективный квантовый алгоритм HSP для группа диэдра даст квантовый алгоритм для поли (п) уникальный СВП.^[2]

Алгоритмы

Существует полиномиальное время квантовый алгоритм решения HSP над конечным Абелевы группы. (В случае проблемы со скрытой подгруппой «алгоритм с полиномиальным временем» означает алгоритм, время работы которого является полиномом от логарифма размера группы.) Алгоритм Шора применяет частный случай этого квантового алгоритма.

Для произвольных групп известно, что проблема скрытых подгрупп разрешима, используя полиномиальное количество оценок оракула.^[3] Этот результат, однако, позволяет квантовому алгоритму работать экспоненциально от log |грамм|, Чтобы разработать эффективные алгоритмы для изоморфизма графов и SVP, нужен алгоритм, для которого как количество вычислений оракула, так и время выполнения являются полиномиальными.

Существование такого алгоритма для произвольных групп открыто. Квантовые алгоритмы полиномиального времени существуют для определенных подклассов групп, таких как полупрямые произведения некоторых Абелевы группы.

«Стандартный» подход к этой проблеме включает: создание квантового состояния ${displaystyle {frac {1}{sqrt {|G|}}}sum _{xin G}{|xangle otimes |f(x)angle }}$, последующий квантовое преобразование Фурье в левый регистр, после чего производится выборка этого регистра. Было показано, что этого подхода недостаточно для решения проблемы скрытых подгрупп для симметрической группы.^[4][5]

Смотрите также

• Двойная группа (квантовые вычисления)
• Проблема скрытого сдвига

Рекомендации

1. Марк Эттингер; Питер Хойер. «Квантовая наблюдаемая для проблемы изоморфизма графов». arXiv:Quant-ph / 9901029.
2. Одед Регев. «Квантовые вычисления и решеточные задачи». arXiv:cs / 0304005.
3. Марк Эттингер; Питер Хойер; Эмануэль Нилл. «Сложность квантового запроса проблемы скрытой подгруппы полиномиальна». Письма об обработке информации. 91: 43–48. arXiv:Quant-ph / 0401083. Дои:10.1016 / j.ipl.2004.01.024.
4. Шон Халлгрен; Мартин Роттелер; Пранаб Сен. "Ограничения квантовых состояний смежности для изоморфизма графов". arXiv:Quant-ph / 0511148.
5. Кристофер Мур, Александр Рассел, Леонард Дж. Шульман. «Симметричная группа бросает вызов строгой выборке Фурье: Часть I». arXiv:Quant-ph / 0501056.

внешняя ссылка

• Ричард Джозса: квантовое разложение, дискретные логарифмы и проблема скрытых подгрупп
• Крис Ломонт: Проблема скрытой подгруппы - обзор и открытые проблемы
• Проблема скрытой подгруппы на arxiv.org