Неравенство Гильберта - Hilberts inequality - Wikipedia

В анализ, раздел математики, Неравенство гильберта утверждает, что

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{r-s}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

для любой последовательности ты₁,ты₂, ... комплексных чисел. Впервые это было продемонстрировано Дэвид Гильберт с константой 2π вместо π; точная постоянная была найдена Иссай Шур. Это означает, что дискретное преобразование Гильберта является ограниченным оператором в ℓ₂.

Формулировка

Позволять (ты_м) - последовательность комплексных чисел. Если последовательность бесконечна, предположим, что она суммируема с квадратами:

${\displaystyle \sum _{m}|u_{m}|^{2}<\infty }$

Неравенство Гильберта (см. Стил (2004) ) утверждает, что

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{r-s}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

Расширения

В 1973 г. Монтгомери и Воан сообщил о нескольких обобщениях неравенства Гильберта с учетом билинейных форм

${\displaystyle \sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u}}_{s}\csc \pi (x_{r}-x_{s})}$

и

${\displaystyle \sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u}}_{s}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}},}$

куда Икс₁,Икс₂,...,Икс_м - различные действительные числа по модулю 1 (т.е. они принадлежат разным классам в факторгруппа р/Z) и λ₁,...,λ_м различные действительные числа. Монтгомери и Воан тогда обобщения неравенства Гильберта даются формулами

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq \delta ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

и

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq \pi \tau ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

куда

${\displaystyle \delta ={\min _{r,s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|,\quad \tau =\min _{r,s}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,}$

${\displaystyle \|s\|=\min _{m\in \mathbb {Z} }|s-m|}$

это расстояние от s до ближайшего целого числа, а min₊ обозначает наименьшее положительное значение. Более того, если

${\displaystyle 0<\delta _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|\quad {\text{and}}\quad 0<\tau _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,}$

то выполняются следующие неравенства:

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\sum _{r}|u_{r}|^{2}\delta _{r}^{-1}.}$

и

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\pi \sum _{r}|u_{r}|^{2}\tau _{r}^{-1}.}$

Рекомендации

• Глава онлайн-книги Неравенство Гильберта и компенсация трудностей извлечен из Стил, Дж. Майкл (2004). «Глава 10: Неравенство Гильберта и компенсация трудностей». Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств. Издательство Кембриджского университета. С. 155–165. ISBN  0-521-54677-X..
• Монтгомери, Х.Л.; Воан, Р. К. (1974). «Неравенство Гильберта». J. London Math. Soc. Серия 2. 8: 73–82. ISSN  0024-6107.

внешняя ссылка

• Годунова, Э. (2001) [1994], «Неравенство Гильберта», Энциклопедия математики, EMS Press