Функция Гильберта – Кунца - Hilbert–Kunz function

В алгебра, то Функция Гильберта – Кунца из местное кольцо (р, м) из основной характеристика п это функция

${\displaystyle f(q)=\operatorname {length} _{R}(R/m^{[q]})}$

куда q это сила п и м^[q] это идеальный генерируется q-ые степени элементов максимальный идеал м.^[1]

Это понятие было введено Эрнст Кунц, который использовал его для характеристики обычное кольцо как Кольцо Нётериана в которой Морфизм Фробениуса является плоский. Если d - размерность локального кольца, Монски показал, что f (q) / (q ^ d) равно c + O (1 / q) для некоторой действительной постоянной c. Эта константа, «кратность Гильберта-Кунца», больше или равна 1. Ватанабэ и Йошида усилили некоторые результаты Кунца, показав, что в несмешанном случае кольцо является правильным именно тогда, когда c = 1.

Функции и кратности Гильберта – Кунца изучались сами по себе. Бреннер и Триведи рассмотрели локальные кольца, происходящие из однородных координатных колец гладких проективных кривых, используя методы алгебраической геометрии. Хан, Монский и Тейшейра рассматривали диагональные гиперповерхности и различные связанные с ними гиперповерхности. Но нет известной техники для определения функции Гильберта – Кунца или c в целом. В частности, вопрос о том, всегда ли c рационально, не был решен до недавнего времени (Бреннером - это не обязательно и может быть трансцендентным). Хохстер и Хунеке связали множественности Гильберта-Кунца с «плотным замыканием», а Бреннер и Монски использовали функции Гильберта-Кунца, чтобы показать, что локализация не обязательно должна сохранять плотное замыкание. Вопрос о том, как ведет себя c, когда характеристика стремится к бесконечности (скажем, для гиперповерхности, определяемой полиномом с целыми коэффициентами), также привлек внимание; снова есть много открытых вопросов.

Исчерпывающий обзор можно найти в статье Крейга Хунеке «Кратности Гильберта-Кунца и F-сигнатура» arXiv: 1409.0467. Эту статью также можно найти на страницах 485–525 тома Springer «Коммутативная алгебра: пояснительные статьи, посвященные Дэвиду Эйзенбуду по случаю его 65-летия» под редакцией Ирены Пеева.

Рекомендации

1. Конка, Альдо (1996). «Функция Гильберта-Кунца мономиальных идеалов и биномиальных гиперповерхностей» (PDF). dima.unige.it. Springer Verlag 90, 287 - 300. Получено 23 августа 2014.

Библиография

• Э. Кунц, "О нётеровых кольцах характеристики p", Am. J. Math, 98, (1976), 999–1013. 1
• Эдвард Миллер, Лэнс; Суонсон, Ирена (2012). «Функции Гильберта-Кунца 2 x 2 детерминантных колец». arXiv:1206.1015.