Преобразование Ельмслева - Hjelmslev transformation

В математика, то Преобразование Ельмслева это эффективный метод для отображение Весь гиперболическая плоскость в круг с конечным радиус. Преобразование придумал датский математик. Йоханнес Ельмслев. Он использует Николай Иванович Лобачевский 23-я теорема из его работы Геометрические исследования по теории параллелей..

Метод отображения бесконечной прямой на конечную в гиперболическая геометрия

Лобачевский замечает, используя комбинацию своих 16-й и 23-й теорем, что это фундаментальная характеристика гиперболическая геометрия что должен существовать отдельный угол параллельности для любой заданной длины строки. Скажем, для длины AE ее угол параллельности равен BAF. В этом случае строки AH и EJ будут гиперпараллельный, а значит, никогда не встретимся. Следовательно, любая линия, проведенная перпендикулярно основанию AE между A и E, обязательно должна пересекать линию AH на некотором конечном расстоянии. Йоханнес Ельмслев открыл из этого метод сжатия всей гиперболической плоскости в конечный круг. Применяя этот процесс к каждой линии в плоскости, можно сжать эту плоскость так, чтобы бесконечные пространства можно было рассматривать как плоские. Однако преобразование Ельмслева не привело бы к правильному кругу. Окружность круга не имеет соответствующего местоположения в плоскости, и поэтому результат преобразования Ельмслева более точно называется Диск Ельмслева. Аналогичным образом, когда это преобразование распространяется во всех трех измерениях, оно упоминается как Ельмслев Болл.

Завершенный диск Ельмслева, представляющий две пересекающиеся прямые
Завершенный диск Ельмслева, представляющий две гиперпараллельные прямые
Завершенный диск Ельмслева, представляющий две ультрапараллельные прямые

При преобразовании сохраняется несколько свойств, позволяющих извлекать из них ценную информацию, а именно:

  1. Изображение круга, разделяющего центр трансформации, будет кругом с тем же центром.
  2. В результате изображения всех прямых углов с одной стороной, проходящей через центр, будут прямыми углами.
  3. Любой угол с центром преобразования в качестве его вершины будет сохранен.
  4. Изображение любой прямой будет конечным отрезком прямой.
  5. Точно так же порядок точек сохраняется на протяжении всего преобразования, т.е. если B находится между A и C, изображение B будет между изображением A и изображением C.
  6. Изображение прямолинейного угла - это прямолинейный угол.

Преобразование Ельмслева и модель Клейна

Если мы представим гиперболическое пространство с помощью Модель Кляйна, и возьмем центр преобразования Ельмслева в качестве центральной точки модели Клейна, тогда преобразование Ельмслева отображает точки в единичном круге в точки в круге с центром в начале координат с радиусом меньше единицы. Учитывая действительное число k, преобразование Ельмслева, если мы игнорируем вращения, фактически является тем, что мы получаем, отображая вектор u, представляющий точку в toku модели Клейна, с 0 равномерное масштабирование который отправляет строки в строки и так далее. Для существ, живущих в гиперболическом пространстве, это может быть подходящий способ создания карты.

Смотрите также