Аргумент отверстия - Hole argument

В общая теория относительности, то аргумент дыры очевидный парадокс, который очень беспокоит Альберт Эйнштейн развивая свой знаменитый уравнения поля.

Некоторые философы физики принимают аргумент поднять проблему для многообразие субстанциональность, доктрина, что многообразие событий в пространство-время представляет собой «субстанцию», которая существует независимо от метрического поля, определенного на ней, или материи внутри нее. Другие философы и физики не согласны с этой интерпретацией и рассматривают этот аргумент как заблуждение относительно калибровочная инвариантность и крепление датчика вместо.^{[нужна цитата ]}

Аргумент дыры Эйнштейна

В обычном уравнении поля, зная источник поля и граничные условия, определяет поле везде. Например, если нам заданы ток и плотность заряда и соответствующие граничные условия, уравнения Максвелла определяют электрическое и магнитное поля. Однако они не определяют векторный потенциал, потому что векторный потенциал зависит от произвольного выбора калибровки.

Эйнштейн заметил, что если уравнения гравитации общековариантный, то метрика не может быть однозначно определена своими источниками как функция координат пространства-времени. В качестве примера: рассмотрим источник гравитации, например, солнце. Тогда существует некоторое гравитационное поле, описываемое метрикой g (r). Теперь выполните преобразование координат r ${ displaystyle to}$ r 'где r' то же самое, что r для точек, которые находятся внутри солнца, но r 'отличается от r вне солнца. На описание координат внутренней части Солнца преобразование не влияет, но функциональная форма метрики g 'для новых значений координат вне Солнца изменяется. Из-за общей ковариантности уравнений поля эта преобразованная метрика g 'также является решением в непреобразованной системе координат.

Это означает, что один источник, солнце, может быть источником множества, казалось бы, разных показателей. Разрешение сразу же: любые два поля, которые различаются только таким преобразованием «дырки», физически эквивалентны, так же как два разных векторных потенциала, которые отличаются калибровочным преобразованием, физически эквивалентны. Тогда все эти математически различные решения физически неразличимы - они представляют собой одно и то же физическое решение уравнений поля.

Есть много вариантов этого очевидного парадокса. В одной из версий вы рассматриваете поверхность начального значения с некоторыми данными и находите метрику как функцию времени. Затем вы выполняете преобразование координат, которое перемещает точки в будущем на поверхности исходного значения, но не влияет на исходную поверхность или любые точки на бесконечности. Тогда вы можете сделать вывод, что общековариантные уравнения поля не определяют будущее однозначно, поскольку эта новая преобразованная метрика координат является одинаково допустимым решением тех же уравнений поля в исходной системе координат. Таким образом, проблема начального значения не имеет единственного решения в общей теории относительности. Это также верно и в электродинамике, поскольку вы можете выполнить калибровочное преобразование, которое завтра повлияет только на векторный потенциал. Решением в обоих случаях является использование дополнительных условий для фиксации датчика.

Оспаривание приведенной выше версии аргумента Эйнштейна о дыре

Вывод Эйнштейном уравнений гравитационного поля был отложен из-за аргумента дырки, который он создал в 1913 году.^[1] Однако проблема заключалась не в том, что описано в разделе выше. К 1912 году, когда Эйнштейн начал то, что он называл «борьбой со значением координат»,^[2] он уже знал, что нужно искать тензорные уравнения, поскольку на них не влияет изменение координат. Он уже нашел форму гравитационного поля (а именно тетраду или поле кадра ${ Displaystyle е _ { mu} ^ {I} (х)}$ или метрическая ${ Displaystyle г _ { му ню} (х)}$ ), и уравнения движения материи в заданном гравитационном поле (которые следуют из максимизации собственного времени, задаваемого формулой ${ displaystyle ds ^ {2} = g _ { mu nu} (x) dx ^ { mu} dx ^ { nu}}$ ).^[3] Очевидно, что это инвариантно относительно преобразований координат.

То, что его беспокоило, было следствием его принципа общей ковариантности и вытекает из следующего.^[4] Общая ковариация гласит, что законы физики должны принимать одну и ту же математическую форму во всех системах отсчета и, следовательно, во всех системах координат, и поэтому дифференциальное уравнение, которое является уравнением поля гравитационного поля, должно принимать одну и ту же математическую форму во всех системах координат. Другими словами, учитывая две системы координат, скажем, ${ displaystyle x}$ координаты и ${ displaystyle y}$ координаты, необходимо решить одно и то же дифференциальное уравнение в обоих, за исключением одного независимая переменная ${ displaystyle x}$ а в другом - независимая переменная ${ displaystyle y}$ . Отсюда следует, что, как только найдется метрическая функция в ${ displaystyle x}$ систему координат, которая решает уравнения поля, можно просто записать ту же самую функцию, но заменить все ${ displaystyle x}$ с ${ displaystyle y}$ 's, который решает уравнения поля в ${ displaystyle y}$ система координат. Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, но относятся к разным системам координат, они накладывают разные геометрические формы пространства-времени. Обратите внимание, что это второе решение не связано с первым преобразованием координат, но, тем не менее, это решение. Вот проблема, которая так беспокоила Эйнштейна: если эти системы координат различаются только после ${ displaystyle t = 0}$ есть два решения; у них одинаковые начальные условия, но после ${ displaystyle t = 0}$ . На основе этого наблюдения Эйнштейн провел три года в поисках необщековариантных уравнений поля в безумной гонке против Гильберта.^[5]

Чтобы быть более точным, Эйнштейн задумал ситуацию, когда распределение материи известно повсюду за пределами некоторой замкнутой области пространства-времени, лишенной материи, то есть дыры. Тогда уравнения поля вместе с граничными условиями якобы позволяют определить метрическое поле внутри отверстия. Один берет ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ координаты различаются внутри отверстия, но совпадают вне его. Затем аргумент продолжается, как в предыдущем абзаце.

Поскольку эти два решения имеют одинаковую функциональную форму, они принимают одинаковые значения; они просто принимают их в разных местах. Следовательно, одно решение получается из другого путем активного перетаскивания метрической функции по пространственно-временному многообразию в новую конфигурацию. Это известно как диффеоморфизм, иногда называемый физиками активным диффеоморфизмом, чтобы отличить его от преобразований координат (пассивных диффеоморфизмов). Эйнштейну не удалось найти необщековариантные уравнения поля, чтобы вернуться к аргументу дырки и разрешить его. В основном это включало признание того, что эти два решения физически эквивалентны, утверждая, что то, как метрика локализована на пространственно-временном многообразии, физически не имеет значения и что отдельные точки пространства-времени, определенные в терминах пространственно-временных координат, сами по себе не имеют физического смысла (это источник проблемы многообразия субстанционализма). Чтобы придать смысл термину «местоположение», Эйнштейн обобщил ситуацию, описанную в предыдущих абзацах, введя две частицы; тогда физические точки (внутри отверстия) могут быть определены в терминах их совпадающих мировых линий. Это работает, потому что материя перетаскивается вместе с метрикой при активных диффеоморфизмах. Без введения этих частиц нельзя было бы определять точки физического пространства-времени (внутри дыры); см. цитаты Эйнштейна, приведенные ниже в разделе «Резолюция Эйнштейна».

Значение координатной инвариантности

Для философов все же есть некоторая тонкость. Если рассматривать компоненты метрики как динамические переменные Общая теория относительности, условие соответствия уравнений координатный инвариант сам по себе не имеет содержания. Все физические теории инвариантны относительно преобразований координат, если они сформулированы правильно. Можно записать уравнения Максвелла в любой системе координат и таким же образом предсказать будущее.

Но для того, чтобы сформулировать электромагнетизм в произвольной системе координат, необходимо ввести описание геометрии пространства-времени, не привязанное к специальной системе координат. Это описание представляет собой метрический тензор в каждой точке или связь, которая определяет, какие соседние векторы параллельны. Введенный математический объект, метрика Минковского, меняет форму от одной системы координат к другой, но он не является частью динамики, он не подчиняется уравнениям движения. Что бы ни случилось с электромагнитным полем, оно всегда одно и то же. Он действует без каких-либо действий.

В общей теории относительности каждая отдельная локальная величина, которая используется для описания геометрии, сама по себе является локальным динамическим полем со своим собственным уравнением движения. Это создает серьезные ограничения, потому что уравнение движения должно быть разумным. Он должен определять будущее из начальных условий, он не должен иметь неустойчивости убегания для малых возмущений, он должен определять положительно определенную энергию для малых отклонений. Если принять точку зрения, что координатная инвариантность тривиально верна, принцип координатной инвариантности просто утверждает, что сама метрика является динамической и ее уравнение движения не включает фиксированную фоновую геометрию.

Резолюция Эйнштейна

В 1915 году Эйнштейн понял, что аргумент дыры делает предположение о природе пространства-времени: он предполагает, что есть смысл говорить о величине гравитационного поля (вплоть до простых преобразований координат) в точке пространства-времени, определяемой координатой пространства-времени - точнее, предполагается, что есть смысл говорить о физических свойствах гравитационного поля, например, является ли оно плоским или искривленным (это свойство гравитационного поля, не зависящее от координат), в точке пространства-времени. Отказавшись от этого предположения, общая ковариация стала совместимой с детерминизмом. Хотя два гравитационных поля, которые отличаются активным диффеоморфизмом, выглядят по-разному геометрически, после пересчета траекторий всех частиц их взаимодействия явно определяют `` физические '' местоположения, по отношению к которым гравитационное поле принимает одинаковое значение при всех активных диффеоморфизмах.^[6] (Обратите внимание, что если бы две метрики были связаны друг с другом простым преобразованием координат, мировые линии частиц не были бы транспонированы; это потому, что обе эти метрики накладывают одну и ту же геометрию пространства-времени и потому, что мировые линии геометрически определены как траектории максимума собственное время - только при активном диффеоморфизме изменяется геометрия и изменяются траектории.) Это было первое четкое изложение принципа калибровочная инвариантность в физическом праве.

Эйнштейн считал, что аргумент дыры подразумевает, что единственное значимое определение местоположения и времени - через материю. Точка в пространстве-времени бессмысленна сама по себе, потому что ярлык, который дается такой точке, не определен. Точки пространства-времени приобретают свое физическое значение только потому, что через них движется материя. По его словам:

«Все наши пространственно-временные проверки неизменно сводятся к определению пространственно-временных совпадений. Если, например, события заключаются только в движении материальных точек, то в конечном итоге ничего нельзя будет наблюдать, кроме встречи двух или более из этих точек. "^[7]

Он считал это глубочайшим открытием общей теории относительности. Согласно этому пониманию, физическое содержание любой теории исчерпывается каталогом пространственно-временных совпадений, которые она разрешает. Джон Стэйчел назвал этот принцип, аргумент о совпадении.^[1]

Обычно то, что инвариантно относительно активных диффеоморфизмов и, следовательно, калибровочно-инвариантное, - это совпадения между значением гравитационного поля и значением, которое поле материи имеет в одном и том же `` месте '', потому что гравитационное поле и поле материи перетаскиваются вместе друг с другом. при активном диффеоморфизме. По этим совпадениям можно составить представление о расположении материи относительно гравитационного поля. В качестве Карло Ровелли говорит: «Больше никаких полей в пространстве-времени: только поля в полях».^[4] Это истинный смысл^{[требуется разъяснение ]} поговорки «Сцена исчезает и становится одним из актеров»; Пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представлено как всего лишь одно из полей, формирующих мир.

Эйнштейн назвал свое решение «превосходящим мои самые смелые ожидания».

Последствия независимости фона для некоторых теорий квантовой гравитации

Петлевая квантовая гравитация - это подход к квантовой гравитации, который пытается объединить фундаментальные принципы классической ОТО с минимальными существенными чертами квантовой механики и не требует никаких новых гипотез. Физики петлевой квантовой гравитации считают фоновая независимость как центральный принцип в их подходе к квантованию гравитации - классическая симметрия, которая должна быть сохранена квантовой теорией, если мы действительно хотим квантовать геометрию (= гравитацию). Непосредственным следствием этого является то, что LQG УФ-конечна, потому что малые и большие расстояния калибровочно эквивалентны, поскольку можно заменить одну метрическую функцию на другую, связанную с первой, активным диффеоморфизмом. Можно привести более точный аргумент.^[8] Прямое доказательство конечности канонической LQG в присутствии всех форм материи было предоставлено Тиманом.^[9] Однако было предложено^{[ВОЗ? ]} эта петлевая квантовая гравитация нарушает независимость фона, вводя предпочтительную систему отсчета ('отжим пены ').^{[нужна цитата ]}

Пертурбативный теория струн (в дополнение к ряду непертурбативных формулировок) не является «очевидно» независимым от фона, потому что он зависит от граничных условий на бесконечности, подобно тому, как пертурбативная общая теория относительности не «очевидно» зависит от фона. Однако некоторые разделы теории струн допускают формулировки, в которых проявляется независимость от фона, в том числе в первую очередь AdS / CFT. Считается, что теория струн в целом не зависит от фона, даже если многие полезные формулировки не отражают ее.^[10] Противоположную точку зрения см. Смолин.^[11]

Смотрите также

Источники

Альберт Эйнштейн, Х. А. Лоренц, Х. Вейль и Х. Минковски, Принцип относительности (1952): Эйнштейн, Альберт (1916) «Основы общей теории относительности», стр. 111–164.
Карло Ровелли, Квантовая гравитация, опубликовано Cambridge University Press (2004) ISBN 0-521-83733-2. Предварительную версию можно бесплатно скачать по адресу http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf.
Нортон, Джон, Аргумент дыры, Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2004 г.), Эдуард Н. Залта (ред.)
д'Инверно, Рэй (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна. Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-859686-3. Видеть Раздел 13.6.
Физика встречается с философией на планковском уровне (Издательство Кембриджского университета).
Радость христианская, Почему квант должен поддаваться гравитации, электронная печать доступна как gr-qc / 9810078. Появляется в Физика встречается с философией на планковском уровне (Издательство Кембриджского университета).
Карло Ровелли и Маркус Галл, Петлевая квантовая гравитация и смысл инвариантности диффеоморфизмов, электронная печать доступна как gr-qc / 9910079.
Роберт Ринасевич: Уроки аргумента о дыре, Brit.J.Phil.Sci. т. 45, нет. 2 (1994), стр. 407–437.
Алан Макдональд, Аргумент дыры Эйнштейна Американский журнал физики (февраль 2001 г.), том 69, выпуск 2, стр. 223–225.

внешняя ссылка

Стэйчел, Джон, «Аргумент дыры и некоторые физические и философские выводы», Живой Преподобный Релятив. 17(1) (2014).

[SEP-1] а ^б Нортон, Джон Д., "Аргумент дыры", Стэнфордская энциклопедия философии, Эдвард Н. Залта (ред.).

[2] Карло Ровелли, Квантовая гравитация, Cambridge University Press, 2007, стр. 65–66.

[3] См. Страницы 65–66 книги Ровелли. Квантовая гравитация.

[Rovbook-4] а ^б См. Книгу Ровелли Квантовая гравитация.

[5] См. Страницу 68 книги Ровелли. Квантовая гравитация.

[6] См. Диаграмму на странице 69 книги Ровелли, Квантовая гравитация.

[7] Эйнштейн, 1916, стр. 117 (цитируется в книге Ровелли Квантовая гравитация, стр.70).

[8] См. Страницу 21 из Ли Смолин, Последние достижения в области непертурбативной квантовой гравитации, arXiv:hep-th / 9202022

[9] Томас Тиманн, Современная каноническая квантовая общая теория относительности, Издательство Кембриджского университета

[10] Джо Полчински о струнных дебатах: «В теории струн всегда было ясно, что физика не зависит от фона, даже если используемый язык - нет, и поиск более подходящего языка продолжается».

[11] Ли Смолин, Аргументы в пользу независимости фона, arXiv:hep-th / 0507235

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]