Разложение Хопфа

В математика, то Разложение Хопфа, названный в честь Эберхард Хопф, дает каноническое разложение измерить пространство (Икс, μ) относительно обратимого неособого преобразования Т, т.е. преобразование, обратное к которому измеримо и несет нулевые наборы на нулевые множества. До нулевых наборов, Икс можно записать как несвязное объединение C ∐ D из Т-инвариантные множества, в которых действия Т на C и D находятся консервативный и диссипативный. Таким образом, если τ - автоморфизм А = L^∞(Икс) индуцированный Тсуществует единственная τ-инвариантная проекция п в А такой, что pA консервативен и (I – p) A диссипативен.

Определения

Блуждающие множества и диссипативные действия. Измеримое подмножество W из Икс является блуждающий если его характеристическая функция q = χ_W в А = L^∞(Икс) удовлетворяет qτ^п(q) = 0 для всех п; таким образом, до нулевых наборов, переводит Т^п(W) не пересекаются. Действие называется диссипативный если Икс = ∐ Т^п(W) для какого-то странствующего множества W.
Консервативные действия. Если Икс не имеет блуждающих подмножеств положительной меры, действие называется консервативный.
Несжимаемые действия. Действие называется несжимаемый если всякий раз, когда измеримое подмножество Z удовлетворяет Т(Z) ⊊ Z тогда $Z \ TZ$ имеет нулевую меру. Таким образом, если q = χ_Z и τ (q) ≤ q, то τ (q) = q.
Повторяющиеся действия. Действие Т как говорят повторяющийся если q ≤ τ (q) ∨ τ²(q) ∨ τ³(q) ∨ ... для любых q = χ_Y.
Бесконечно повторяющиеся действия. Действие Т как говорят бесконечно повторяющийся если q ≤ τ^м (q) ∨ τ^{м + 1}(q) ∨ τ^м+2(q) ∨ ... для любых q = χ_Y и любой м ≥ 1.

Теорема о возвращении

Теорема. Если Т - обратимое преобразование на пространстве с мерой (Икс, μ), сохраняющие нулевые множества, то следующие условия эквивалентны на Т (или его обратное):^[1]

Т является консервативный;
Т повторяется;
Т бесконечно повторяется;
Т несжимаемый.

С Т диссипативен тогда и только тогда, когда Т⁻¹ диссипативна, отсюда следует, что Т консервативен тогда и только тогда, когда Т⁻¹ консервативен.

Если Т консервативен, то р = q ∧ (τ (q) ∨ τ²(q) ∨ τ³(q) ∨ ⋅⋅⋅)^⊥ = q ∧ τ (1 - q) ∧ τ²(1 -q) ∧ τ³(q) ∧ ... блуждает так, что если q <1, обязательно р = 0. Следовательно q ≤ τ (q) ∨ τ²(q) ∨ τ³(q) ∨ ⋅⋅⋅, так что Т повторяется.

Если Т повторяется, то q ≤ τ (q) ∨ τ²(q) ∨ τ³(q) ∨ ⋅⋅⋅ Теперь предположим по индукции, что q ≤ τ^k(q) ∨ τ^k+1(q) ∨ ⋅⋅⋅. Тогда τ^k(q) ≤ τ^k+1(q) ∨ τ^k+2(q) ∨ ⋅⋅⋅ ≤. Следовательно q ≤ τ^k+1(q) ∨ τ^k+2(q) ∨ ⋅⋅⋅. Итак, результат верен для k+1 и таким образом Т бесконечно рекуррентно. Наоборот, по определению бесконечно рекуррентное преобразование рекуррентно.

Теперь предположим, что Т повторяется. Чтобы показать это Т несжимаема, необходимо показать, что если τ (q) ≤ q, то τ (q) ≤ q. Фактически в этом случае τ^п(q) - убывающая последовательность. Но при повторении q ≤ τ (q) ∨ τ²(q) ∨ τ³(q) ∨ ⋅⋅⋅, поэтому q ≤ τ (q) и поэтому q = τ (q).

Наконец предположим, что Т несжимаемый. Если Т не консервативен есть п ≠ 0 дюйм А с τ^п(п) непересекающиеся (ортогональные). Но потом q = п ⊕ τ (п) ⊕ τ²(п) ⊕ ⋅⋅⋅ удовлетворяет τ (q) < q с $q - τ (q) = п \neq 0$ , противоречащие несжимаемости. Так Т консервативен.

Теорема. Если Т - обратимое преобразование на пространстве с мерой (Икс,μ), сохраняющего нулевые множества и вызывающего автоморфизм τ из А = L^∞(Икс), то существует единственное τ-инвариантный п = χ_C в А такой, что τ консервативен pA = L^∞(C) и диссипативной на (1 -п)А = L^∞(D) куда D = Икс \ C.^[2]

Без ограничения общности можно считать, что μ - вероятностная мера. Если Т консервативен, доказывать нечего, так как в этом случае C = Икс. В противном случае будет блуждающий набор W за Т. Позволять р = χ_W и q = ⊕ τ^п(р). Таким образом q является τ-инвариантный и диссипативный. более того μ(q)> 0. Ясно, что ортогональная прямая сумма таких τ-инвариантный диссипативный q'S также τ-инвариантный и диссипативный; и если q является τ-инвариантный и диссипативный и р < q является τ-инвариантно, то р диссипативен. Следовательно, если q₁ и q₂ находятся τ-инвариантно и диссипативно, то q₁ ∨ q₂ является τ-инвариантно и диссипативно, поскольку q₁ ∨ q₂ = q₁ ⊕ q₂(1 − q₁). Теперь позвольте M быть верховным из всех μ(q) с q τ-инвариантный и диссипативный. Брать q_п τ-инвариантный и диссипативный, такой что μ(q_п) увеличивается до M. Замена q_п к q₁ ∨ ⋅⋅⋅ ∨ q_п, т можно предположить, что q_п увеличивается до q сказать. По преемственности q является τ-инвариантный и μ(q) = M. По максимальности п = я − q консервативен. Уникальность очевидна, поскольку нет τ-инвариантный р < п диссипативен и каждый τ-инвариантный р < q диссипативен.

Следствие. Разложение Хопфа для Т совпадает с разложением Хопфа для Т⁻¹.

Поскольку преобразование диссипативно на пространстве с мерой тогда и только тогда, когда обратное к нему диссипитивно, диссипативные части Т и Т⁻¹ совпадают. Отсюда и консервативные части.

Следствие. Разложение Хопфа для Т совпадает с разложением Хопфа для Т^п за п > 1.

Если W это странствующий набор для Т тогда это странствующий набор для Т^п. Итак, диссипативная часть Т содержится в диссипативной части Т^п. Пусть σ = τ^п. Чтобы доказать обратное, достаточно показать, что если σ диссипативно, то τ диссипативно. В противном случае, используя разложение Хопфа, можно предположить, что σ диссипативно, а τ консервативно. Предположим, что п ненулевой блуждающий проектор для σ. Тогда τ^а(п) и τ^б(п) ортогональны для разных а и б в том же классе сравнения по модулю п. Возьмем набор τ^а(п) с ненулевым продуктом и максимальным размером. Таким образом |S| ≤ п. По максимальности р блуждает для τ; противоречие.

Следствие. Если обратимое преобразование Т действует эргодически, но нетранзитивно на пространстве с мерой (Икс,μ) с сохранением нулевых множеств и B это подмножество с μ(B)> 0, то дополнение к B ∪ Туберкулез ∪ Т²B ∪ ⋅⋅⋅ имеет нулевую меру.

Обратите внимание, что из эргодичности и нетранзитивности следует, что действие Т консервативен и, следовательно, бесконечно рекуррентен. Но потом B ≤ Т^м (B) ∨ Т^{м + 1}(B) ∨ Т^м+2(B) ∨ ... для любых м ≥ 1. Применение Т^−м, следует, что Т^−м(B) лежит в Y = B ∪ Туберкулез ∪ Т²B ∪ ⋅⋅⋅ за каждый м > 0. По эргодичности μ(Икс \ Y) = 0.

Разложение Хопфа для неособого потока

Позволять (Икс, μ) - пространство с мерой и S_т неугловой поток на Икс индуцируя однопараметрическую группу автоморфизмов σ_т из А = L^∞(Икс). Предполагается, что действие точное, так что σ_т это личность только для т = 0. Для каждого S_т или эквивалентно σ_т с т ≠ 0 существует разложение Хопфа, поэтому a п_т фиксируется σ_т таким образом, что действие на п_тА и диссипативной на (1−п_т)А.

За s, т ≠ 0 консервативная и диссипативная части S_s и S_т совпадают, если s/т рационально.^[3]

Это следует из того, что для любого неособого обратимого преобразования консервативная и диссипативная части Т и Т^п совпадают для п ≠ 0.

Если S₁ рассеивается на А = L^∞(Икс), то существует инвариантная мера λ на А и п в А такой, что

п > σ_т(п) для всех т > 0
λ (п - σ_т(п)) = т для всех т > 0
σ_т(п) ${ displaystyle uparrow}$ 1 как т стремится к −∞ и σ_т(п) ${ displaystyle downarrow}$ 0 как т стремится к + ∞.

Позволять Т = S₁. Брать q странствующий набор для Т так что ⊕ τ^п(q) = 1. Заменяя μ на эквивалентную меру, можно считать, что μ (q) = 1, так что μ ограничивается вероятностной мерой на qA. Перенося эту меру на τ^п(q)А, далее можно считать, что μ τ-инвариантна на А. Но потом

λ = \int 10 μ \circ σ т dt

эквивалентная σ-инвариантная мера на А которые при необходимости можно масштабировать так, чтобы λ (q) = 1. р в А которые блуждают за Τ (или τ) с ⊕ τ^п(р) = 1 легко описываются: они задаются р = ⊕ τ^п(q_п) куда q = ⊕ q_п является разложением q. В частности, λ (р) = 1. Более того, если п удовлетворяет п > τ (п) и τ^–п(п)

{ displaystyle uparrow}

1, то λ (п- τ (п)) = 1, применяя результат к р = п - τ (п). Те же рассуждения показывают, что, наоборот, если р блуждает при τ и λ (р) = 1, то

\oplus τ п (р) = 1

.

Позволять Q = q ⊕ τ (q) ⊕ τ² (q) ⊕ ⋅⋅⋅, так что τ^k (Q) < Q за k ≥ 1. Тогда

а = \int \infty 0 σ т (q) dt = \sum k \geq0 \int 10 σ k + т (q) dt = \int 10 σ т (Q) dt

так что 0 ≤ a ≤ 1 в А. По определению σ_s(а) ≤ а за s ≥ 0, так как

а - σ s (а) = \int \infty s σ т (q) dt

. Эти же формулы показывают, что σ_s(а) стремится к 0 или 1 как s стремится к + ∞ или −∞. Набор п = χ_{[ε, 1]}а) при 0 <ε <1. Тогда σ_s(п) = χ_{[ε, 1]}(σ_s(а)). Отсюда сразу следует, что σ_s(п) ≤ п за s ≥ 0. Кроме того, σ_s(п)

{ displaystyle downarrow}

0 как s стремится к + ∞ и σ_s(п)

{ displaystyle uparrow}

1 как s стремится к - ∞. Первая предельная формула следует из того, что 0 ≤ ε ⋅ σ_s(п) ≤ σ_s(а). Теперь те же рассуждения можно применить к τ⁻¹, σ_−т, τ⁻¹(q) и 1 - ε вместо τ, σ_т, q и ε. Тогда легко проверить, что величины, соответствующие а и п 1 - а и 1 - п. Следовательно, σ_−т(1−п)

{ displaystyle downarrow}

0 как т стремится к ∞. Следовательно, σ_s(п)

{ displaystyle uparrow}

1 как s стремится к - ∞. Особенно п ≠ 0 , 1.

Так р = п - τ (п) блуждает при τ и ⊕ τ^k(р) = 1. Следовательно, λ (р) = 1. Отсюда следует, что λ (п −σ_s(п) ) = s за s = 1/п и поэтому для всех рациональных s > 0. Поскольку семейство σ_s(п) непрерывно и убывает, по непрерывности та же формула верна и для всех действительных s > 0. Следовательно п удовлетворяет всем заявленным условиям.

Консервативная и диссипативная части S_т за т ≠ 0 не зависят от т.^[4]

Предыдущий результат показывает, что если S_т рассеивается на Икс за т ≠ 0, то каждый S_s за s ≠ 0. По единственности S_т и S_s сохранить диссипативные части другого. Следовательно, каждый из них диссипативен на диссипативной части другого, поэтому диссипативные части согласуются. Следовательно, консервативные части согласны.

Смотрите также

Эргодический поток

Примечания

^ Кренгель 1985, стр. 16–17
^ Кренгель 1985, стр. 17–18
^ Кренгель 1985, п. 18
^ Кренгель 1968, п. 183

Разложение Хопфа - Hopf decomposition

Содержание