Теорема Сюй – Роббинса – Эрдеша. - Hsu–Robbins–Erdős theorem - Wikipedia

в математический теория вероятности, то Теорема Сюй – Роббинса – Эрдеша. заявляет, что если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ представляет собой последовательность i.i.d. случайные переменные с нулевым средним и конечной дисперсией и

${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n},\,}$

тогда

${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}P(|S_{n}|>\varepsilon n)<\infty }$

для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Результат был доказан Пао-Лу Сюй и Герберт Роббинс в 1947 г.

Это интересное усиление классической сильной закон больших чисел в направлении Лемма Бореля – Кантелли.. Идея такого результата, вероятно, принадлежит Роббинсу, но метод доказательства - винтажный Сюй.^[1] Сюй и Роббинс предположили далее в ^[2] что условие конечности дисперсии ${\displaystyle X}$ также необходимое условие для ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}P(|S_{n}|>\varepsilon n)<\infty }$ держать. Два года спустя знаменитый математик Пол Эрдёш гипотеза доказана.^[3]

С тех пор многие авторы развили этот результат в нескольких направлениях.^[4]

Рекомендации

1. Чунг, К. Л. (1979). Вероятность работы Сюй. Анналы статистики, 479–483.
2. Сюй, П. Л., и Роббинс, Х. (1947). Полная сходимость и закон больших чисел. Слушания Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 33 (2), 25.
3. Эрдош, П. (1949). Об одной теореме Сюй и Роббинса. Анналы математической статистики, 286–291.
4. Теорема Сюй-Роббинса для коррелированных последовательностей