Серия Гумберта - Humbert series

В математике Серия Гумберта набор из семи гипергеометрический ряд Φ₁, Φ₂, Φ₃, Ψ₁, Ψ₂, Ξ₁, Ξ₂ из двух переменные которые обобщают Конфлюэнтный гипергеометрический ряд Куммера ₁F₁ одной переменной и конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция ₀F₁ одной переменной. Первая из этих двойных серий была представлена Пьер Эмбер  (1920 ).

Определения

Ряд Гумберта Φ₁ определено для |Икс| <1 двойной серией:

${\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)=F_{1}(a,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

где Символ Поххаммера (q)_п представляет возрастающий факториал:

${\displaystyle (q)_{n}=q\,(q+1)\cdots (q+n-1)={\frac {\Gamma (q+n)}{\Gamma (q)}}~,}$

где второе равенство верно для всех сложных ${\displaystyle q}$ Кроме ${\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }$.

Для других значений Икс функция Φ₁ можно определить как аналитическое продолжение.

Ряд Гумберта Φ₁ также можно записать в виде одномерного Эйлер -тип интеграл:

${\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}$

Это представление можно проверить с помощью Расширение Тейлора подынтегрального выражения с последующим почленным интегрированием.

Аналогично функция Φ₂ определено для всех Икс, у по сериалу:

${\displaystyle \Phi _{2}(b_{1},b_{2},c;x,y)=F_{1}(-,b_{1},b_{2},c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

функция Φ₃ для всех Икс, у по сериалу:

${\displaystyle \Phi _{3}(b,c;x,y)=\Phi _{2}(b,-,c;x,y)=F_{1}(-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

функция Ψ₁ для |Икс| <1 по серии:

${\displaystyle \Psi _{1}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,b,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

функция Ψ₂ для всех Икс, у по сериалу:

${\displaystyle \Psi _{2}(a,c_{1},c_{2};x,y)=\Psi _{1}(a,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,-,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{4}(a,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

функция Ξ₁ для |Икс| <1 по серии:

${\displaystyle \Xi _{1}(a_{1},a_{2},b,c;x,y)=F_{3}(a_{1},a_{2},b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

а функция Ξ₂ для |Икс| <1 по серии:

${\displaystyle \Xi _{2}(a,b,c;x,y)=\Xi _{1}(a,-,b,c;x,y)=F_{3}(a,-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}$

Связанные серии

• Основная статья: Серия Appell

Есть четыре связанных ряда двух переменных, F₁, F₂, F₃, и F₄, которые обобщают Гипергеометрический ряд Гаусса ₂F₁ одной переменной аналогичным образом и которые были введены Поль Эмиль Аппель в 1880 г.

Рекомендации

• Аппель, Пол; Кампе де Фериет, Жозеф (1926). Fonctions hypergéométriques et hypersphériques; Polynômes d'Hermite (На французском). Париж: Готье-Виллар. JFM  52.0361.13. (см. стр. 126)
• Бейтман, Х.; Эрдейи, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. я (PDF). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. (см. стр. 225)
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «9.26.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Гумберт, Пьер (1920). "Sur les fonctions hypercylindriques". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (На французском). 171: 490–492. JFM  47.0348.01.