Уравнение Хантера – Сакстона - Hunter–Saxton equation

В математическая физика, то Уравнение Хантера – Сакстона^[1]

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{x}={\frac {1}{2}}\,u_{x}^{2}}$

является интегрируемый PDE что возникает при теоретическом изучении нематические жидкие кристаллы. Если сначала все молекулы в жидком кристалле выровнены, а затем некоторые из них слегка покачиваются, это нарушение ориентации будет распространяться по кристаллу, и уравнение Хантера – Сакстона описывает некоторые аспекты такого ориентационные волны.

Физический фон

В рассматриваемых здесь моделях жидких кристаллов предполагается, что поток жидкости отсутствует, так что только ориентация молекул представляет интерес. теория упругого континуума, ориентация описывается полем единичных векторов п(Икс,y,z,т). Для нематических жидких кристаллов нет разницы между ориентацией молекулы в п направление или в -п направление, а векторное поле п тогда называется поле директораПлотность потенциальной энергии поля директора обычно считается заданной Осеен –откровенный энергетический функционал ^[2]

${\displaystyle W(\mathbf {n} ,\nabla \mathbf {n} )={\frac {1}{2}}\left(\alpha (\nabla \cdot \mathbf {n} )^{2}+\beta (\mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {n} ))^{2}+\gamma |\mathbf {n} \times (\nabla \times \mathbf {n} )|^{2}\right),}$

где положительные коэффициенты ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ известны как коэффициенты упругости при растяжении, скручивании и изгибе соответственно. Кинетической энергией часто пренебрегают из-за высокой вязкости жидких кристаллов.

Вывод уравнения Хантера – Сакстона.

Хантер и Сакстон^[1] исследовал случай, когда вязкое демпфирование не учитывается и в модель включен член кинетической энергии. Тогда определяющими уравнениями динамики поля директора являются Уравнения Эйлера – Лагранжа. для Лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial t}}\right|^{2}-W(\mathbf {n} ,\nabla \mathbf {n} )-{\frac {\lambda }{2}}(1-|\mathbf {n} |^{2}),}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ это Множитель Лагранжа соответствующий ограничению |п| = 1. Они ограничились «всплесками», где поле директора принимает специальный вид

${\displaystyle \mathbf {n} (x,y,z,t)=(\cos \varphi (x,t),\sin \varphi (x,t),0).}$

Это предположение сводит лагранжиан к

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-a^{2}(\varphi )\varphi _{x}^{2}\right),\qquad a(\varphi ):={\sqrt {\alpha \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\varphi }},}$

и тогда уравнение Эйлера – Лагранжа для угла φ принимает вид

${\displaystyle \varphi _{tt}=a(\varphi )[a(\varphi )\varphi _{x}]_{x}.}$

Существуют тривиальные постоянные решения φ = φ₀соответствующих состояниям, в которых молекулы в жидком кристалле идеально выровнены. Линеаризация вокруг такого равновесия приводит к линейному волновому уравнению, которое позволяет волнам распространяться в обоих направлениях со скоростью${\displaystyle a_{0}:=a(\varphi _{0})}$, поэтому можно ожидать, что нелинейное уравнение будет вести себя аналогичным образом. Чтобы изучить правосторонние волны при больших тищутся асимптотические решения вида

${\displaystyle \varphi (x,t;\epsilon )=\varphi _{0}+\epsilon \varphi _{1}(\theta ,\tau )+O(\epsilon ^{2}),}$

куда

${\displaystyle \theta :=x-a_{0}t,\qquad \tau :=\epsilon t.}$

Подставляя это в уравнение, находим в порядке ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$ который

${\displaystyle (\varphi _{1\tau }+a'(\varphi _{0})\varphi _{1}\varphi _{1\theta })_{\theta }={\frac {1}{2}}a'(\varphi _{0})\varphi _{1\theta }^{2}.}$

Простое переименование и масштабирование переменных (при условии, что ${\displaystyle a'(\varphi _{0})\neq 0}$) преобразует это в уравнение Хантера – Сакстона.

Обобщение

Позднее анализ был обобщен Али и Хантером,^[3] который позволял полю директора указывать в любом направлении, но с пространственной зависимостью только в Икс направление:

${\displaystyle \mathbf {n} (x,y,z,t)=(\cos \varphi (x,t),\sin \varphi (x,t)\cos \psi (x,t),\sin \varphi (x,t)\sin \psi (x,t)).}$

Тогда лагранжиан равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-a^{2}(\varphi )\varphi _{x}^{2}+\sin ^{2}\varphi \left[\psi _{t}^{2}-b^{2}(\varphi )\psi _{x}^{2}\right]\right),\qquad a(\varphi ):={\sqrt {\alpha \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\varphi }},\quad b(\varphi ):={\sqrt {\beta \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\varphi }}.}$

Соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа являются связанными нелинейными волновыми уравнениями для углов φ и ψ, при этом φ соответствует «волнам расширения», а ψ - «волнам закрутки». Предыдущий случай Хантера – Сакстона (чистые волны всплеска) восстанавливается путем взятия постоянной ψ, но можно также рассматривать связанные волны всплеска-закрутки, в которых изменяются как φ, так и ψ. Асимптотические разложения, аналогичные приведенному выше, приводят к системе уравнений, которая после переименования и масштабирования переменных принимает вид

${\displaystyle (v_{t}+uv_{x})_{x}=0,\qquad u_{xx}=v_{x}^{2},}$

куда ты связана с φ и v к ψ. Из этой системы следует^[4] который ты удовлетворяет

${\displaystyle \left[(u_{t}+uu_{x})_{x}-{\frac {1}{2}}\,u_{x}^{2}\right]_{x}=0,}$

поэтому (что весьма примечательно) уравнение Хантера – Сакстона возникает и в этом контексте, но по-другому.

Вариационные структуры и интегрируемость

В интегрируемость уравнения Хантера – Сакстона, точнее, его Икс производная

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{xx}=u_{x}u_{xx},}$

был показан Хантером и Чжэн,^[5] кто воспользовался тем, что это уравнение получается из Уравнение Камассы – Холма

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$

в "пределе высоких частот"

${\displaystyle (x,t)\mapsto (\epsilon x,\epsilon t),\qquad \epsilon \to 0.}$

Применяя эту предельную процедуру к лагранжиану для уравнения Камассы – Холма, они получили лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {1}{2}}u_{x}^{2}+w(v_{t}+uv_{x})}$

что дает уравнение Хантера – Сакстона после исключения v и ш из уравнений Эйлера – Лагранжа для ты, v, ш. Поскольку существует также более очевидный лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=u_{x}u_{t}+uu_{x}^{2},}$

Хантер – Сакстон имеет две неэквивалентные вариационные структуры. Хантер и Чжэн также получили бигамильтонову формулировку и Слабая пара аналогичным образом из соответствующих структур для уравнения Камасса – Холма.

Тот факт, что уравнение Хантера-Сакстона возникает физически двумя разными способами (как показано выше), был использован Али и Хантером.^[3] чтобы объяснить, почему он имеет эту двувариантную (или бигамильтонову) структуру.

Примечания

1. Хантер и Сакстон 1991
2. de Gennes & Prost 1994 (гл. 3)
3. Али и Хантер 2006
4. Продифференцируем второе уравнение относительно т, заменять v_xt из первого уравнения и исключить v снова используя второе уравнение.
5. Хантер и Чжэн 1994

Рекомендации

• Али, Джузеппе; Хантер, Джон К. (2006), Ориентационные волны в поле директора с вращательной инерцией, arXiv:math.AP / 0609189
• де Женн, Пьер-Жиль; Прост, Жак (1994), Физика жидких кристаллов, Международная серия монографий по физике (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0-19-852024-7
• Хантер, Джон К .; Сакстон, Ральф (1991), "Динамика полей директора", SIAM J. Appl. Математика., 51 (6), стр. 1498–1521, Дои:10.1137/0151075
• Хантер, Джон К .; Чжэн, Юйси (1994), "Об одном полностью интегрируемом нелинейном гиперболическом уравнении в вариациях", Physica D, 79 (2–4), стр. 361–386, Bibcode:1994 ФИД ... 79..361H, Дои:10.1016 / S0167-2789 (05) 80015-6

дальнейшее чтение

• Билз, Ричард; Sattinger, Дэвид Х .; Шмигельски, Яцек (2001), «Обратные решения уравнения Хантера – Сакстона для рассеяния», Применимый анализ, 78 (3–4), стр. 255–269, Дои:10.1080/00036810108840938^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Брессан, Альберто; Константин, Адриан (2005), "Глобальные решения уравнения Хантера – Сакстона", SIAM J. Math. Анальный., 37 (3), стр. 996–1026, arXiv:математика / 0502059, Дои:10.1137/050623036
• Холден, Хельге; Карлсен, Кеннет Хвистендал; Райзебро, Нильс Хенрик (2007), «Сходящиеся разностные схемы для уравнения Хантера – Сакстона», Математика. Комп., 76 (258), стр. 699–745, Bibcode:2007MaCom..76..699H, Дои:10.1090 / S0025-5718-07-01919-9, заархивировано из оригинал на 2007-09-22
• Хантер, Джон К .; Чжэн, Юйси (1995), "О нелинейном гиперболическом вариационном уравнении. I. Глобальное существование слабых решений", Arch. Rational Mech. Анальный., 129 (4), стр. 305–353, Bibcode:1995ArRMA.129..305H, Дои:10.1007 / BF00379259
• Хантер, Джон К .; Чжэн, Юйси (1995), "Об одном нелинейном гиперболическом вариационном уравнении. II. Пределы нулевой вязкости и дисперсии", Arch. Rational Mech. Анальный., 129 (4), стр. 355–383, Bibcode:1995ArRMA.129..355H, Дои:10.1007 / BF00379260
• Ленеллс, Джонатан (2007), «Уравнение Хантера – Сакстона описывает геодезический поток на сфере», J. Geom. Phys., 57 (10), стр. 2049–2064, Bibcode:2007JGP .... 57.2049L, Дои:10.1016 / j.geomphys.2007.05.003