Оператор Хатчинсона - Hutchinson operator

В математика, при изучении фракталы, а Оператор Хатчинсона^[1] является коллективным действием набора сокращений, называемых система повторяющихся функций.^[2] В итерация оператора сходится к единственному аттрактор, что часто самоподобный фиксированный набор оператора.

Определение

Позволять ${displaystyle {f_{i}:X o X | 1leq ileq N}}$ быть система повторяющихся функций, или набор из схватки из компактный набор ${displaystyle X}$ себе. Оператор ${displaystyle H}$ определено над подмножествами ${displaystyle Ssubset X}$ в качестве

${displaystyle H(S)=igcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).,}$

Ключевой вопрос - описать аттракторы ${displaystyle A=H(A)}$ этого оператора, которые являются компактными множествами. Один из способов создания такого набора - начать с начального компакта ${displaystyle S_{0}subset X}$ (которая может быть единственной точкой, называемой семенем) и итерация ${displaystyle H}$ следующее

${displaystyle S_{n+1}=H(S_{n})=igcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})}$

и переходя к пределу, итерация сходится к аттрактору

${displaystyle A=lim _{n o infty }S_{n}.}$

Характеристики

Хатчинсон показал в 1981 году существование и уникальность аттрактора. ${displaystyle A}$. Доказательство следует из того, что оператор Хатчинсона сжимает на множестве компактных подмножеств ${displaystyle X}$ в Расстояние Хаусдорфа.

Сборник функций ${displaystyle f_{i}}$ вместе с композицией образуют моноид. С N функций, то можно представить моноид как полный N-арное дерево или Дерево Кэли.

Рекомендации

1. Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие». Indiana Univ. Математика. J. 30 (5): 713–747. Дои:10.1512 / iumj.1981.30.30055.
2. Барнсли, Майкл Ф .; Стивен Демко (1985). «Итерированные функциональные системы и глобальное построение фракталов». Труды Лондонского королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 399 (1817): 243–275.