Пример неэллипса
В геометрия треугольника, инэллипс является эллипс что касается трех сторон треугольник. Самый простой пример - это окружать. Следующие важные эллипсы - это Штайнер инеллипс, который касается треугольника в серединах его сторон, Мандарт инеллипс и Brocard inellipse (видеть раздел примеров ). Для любого треугольника существует бесконечное количество эллипсов.
Инэллипс Штайнера играет особую роль: его площадь самая большая из всех эллипсов.
Поскольку невырожденный коническая секция однозначно определяется пятью элементами из множества вершин и касательных, в треугольнике, три стороны которого заданы как касательные, можно указать только точки соприкосновения с двух сторон. Затем однозначно определяется третья точка контакта.
Параметрические изображения, центр, сопряженные диаметры
Неэллипс треугольника однозначно определяется вершинами треугольника и двумя точками соприкосновения.

.
Неэллипс треугольника с вершинами

и точки связи

на
и
соответственно можно описать рациональный параметрическое представление

куда
однозначно определяются выбором точек соприкосновения:

В третье контактное лицо является

В центр инэллипса

Векторы


два сопряженные полудиаметры а у инеллипса более общий тригонометрический параметрическое представление

Точка Брианшон

В Точка Брианшон инэллипса (общая точка
линий
) является

Различный
это простой вариант прописать две точки соприкосновения
. Приведенные оценки для
гарантируют, что точки соприкосновения расположены по сторонам треугольника. Они предусматривают
границы
.
Замечание: Параметры
не являются ни полуосями эллипса, ни длинами двух сторон.
Примеры
Мандарт инеллипс
Штайнер инеллипс
За
точки контакта
- середины сторон, а эллипс - Штайнер инеллипс (его центр - центроид треугольника).
Incircle
За
каждый получает окружать треугольника с центром

Мандарт инеллипс
За
инэллипс - это Мандарт инеллипс треугольника. Он касается сторон в точках контакта вне окружности (см. диаграмму).
Brocard inellipse
Brocard inellipse
За
каждый получает Brocard inellipse. Он однозначно определяется своей точкой Брианшона, указанной в трилинейные координаты
.
Выводы заявлений
Определение эллипса путем решения задачи для гиперболы в

-

-плоскость и дополнительное преобразование решения в
Икс-
у-самолет.

центр искомого эллипса и

два сопряженных диаметра. В обеих плоскостях существенные точки обозначены одними и теми же символами.

линия на бесконечности
Икс-
у-самолет.
- Новые координаты
Для доказательства утверждений рассмотрим задачу проективно и вводит удобную новую неоднородность
-
-координаты такие, что желаемое коническое сечение отображается как гипербола и точки
становятся бесконечно удаленными точками новых координатных осей. Точки
будет описываться в новой системе координат как
и соответствующая линия имеет уравнение
. (Ниже окажется, что
действительно имеют тот же смысл, что и в приведенном выше утверждении.) Теперь ищется гипербола с осями координат в качестве асимптот, которая касается линии
. Это простая задача. Путем несложного расчета получается гипербола с уравнением
. Он касается линии
в точке
.
- Преобразование координат
Превращение решения в Икс-у-самолет будет выполнен с использованием однородные координаты и матрица
.
Точка
отображается на

Точка
из
-
-плоскость представлена вектором-столбцом
(видеть однородные координаты ). Бесконечная точка представлена как
.
- Преобразование координат существенных точек
![{ Displaystyle U: [1,0,0] ^ {T} rightarrow (u_ {1}, u_ {2}) , quad V: [0,1,0] ^ {T} rightarrow (v_ {1}, v_ {2}) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c497b1f88e79030ca93f2a180c0684334572003)
![{ Displaystyle O: [0,0] rightarrow (0,0) , quad A: [a, 0] rightarrow (a_ {1}, a_ {2}) , quad B: [0, b] rightarrow (b_ {1}, b_ {2}) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ef40c3ddad1e9bdeb9c7591474b55851361497)
- (Следует учитывать:
; см. выше.)
уравнение бесконечно удаленной прямой Икс-у-самолет; его точка в бесконечности
.
![{ displaystyle [1, -1, { color {красный} 0}] ^ {T} rightarrow (u_ {1} -v_ {1}, u_ {2} -v_ {2}, { color {красный} 0}) ^ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de3b0fd1b4aad1b8dbdb47b38fae93679184665)
Следовательно, бесконечно удаленная точка
(в
-
-плоскость) отображается в бесконечно удаленную точку Икс-у-самолет. Это означает: две касательные гиперболы, параллельные
, параллельны в Икс-у-самолет тоже. Их контактные лица
![{ displaystyle D_ {i}: left [{ frac { pm { sqrt {ab}}} {2}}, { frac { pm { sqrt {ab}}} {2}} right ] rightarrow { frac {1} {2}} { frac { pm { sqrt {ab}}} {1 pm { sqrt {ab}}}} ; (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2}), ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7052800026aaac4c4ae076e61cd2a1cc4afa2adc)
Поскольку касательные к эллипсу в точках
параллельны, хорда
это диаметр и его середина центр
эллипса

Легко проверяется, что
имеет
-
-координаты
![{ displaystyle M: ; left [{ frac {-ab} {2}}, { frac {-ab} {2}} right] ;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae4ee71147e7a2b13b7d335cf7bcb81c3cef83a)
Для определения диаметра эллипса, сопряженного с
, в
-
-плоскость нужно определить общие точки
гиперболы с линией, проходящей через
параллельно касательным (его уравнение
). Один получает
. И в Икс-у-координаты:

Из двух сопряженных диаметров
можно получить два векторных сопряженные полудиаметры
![{ displaystyle { begin {align} { vec {f}} _ {1} & = { vec {MD_ {1}}} = { frac {1} {2}} { frac { sqrt { ab}} {ab-1}} ; (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2}) [6pt] { vec {f}} _ {2} & = { vec {ME_ {1}}} = { frac {1} {2}} { sqrt { frac {ab} {ab-1}}} ; (u_ {1} -v_ {1}, u_ {2} -v_ {2}) ; end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051c4b96e2a66a70990e8af3c4faad92bcb65026)
и по крайней мере тригонометрическое параметрическое представление инэллипса:

Аналогично случаю Эллипс Штейнера можно определить полуоси, эксцентриситет, вершины, уравнение в Икс-у-координаты и площадь эллипса.
В третья точка соприкосновения
на
является:
![{ displaystyle W: left [{ frac {a} {2}}, { frac {b} {2}} right] rightarrow left ({ frac {u_ {1} a + v_) {1} b} {a + b + 2}} ;, ; { frac {u_ {2} a + v_ {2} b} {a + b + 2}} right) ;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c12e425cfa9038ab72d6f9ccd25447915a5aa0f)
В Точка Брианшон инэллипса - общая точка
из трех строк
. в
-
-плоскости эти линии имеют уравнения:
. Следовательно, точка
имеет координаты:
![{ Displaystyle К: [a, b] rightarrow left ({ frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 1}} ;, ; { frac {u_ {2} a + v_ {2} b} {a + b + 1}} right) .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a6a51aecf46a39ee8a67c88ebd39922423804e)
Преобразование гиперболы
дает рациональное параметрическое представление инэллипса:
![{ displaystyle left [ xi, { frac {ab} {4 xi}} right] rightarrow left ({ frac {4u_ {1} xi ^ {2} + v_ {1}) ab} {4 xi ^ {2} +4 xi + ab}}, { frac {4u_ {2} xi ^ {2} + v_ {2} ab} {4 xi ^ {2} +4 xi + ab}} right) , - infty < xi < infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3a222e4fc60737d44af7ad7fd5c611518d1cec)
- Incircle
Вписанная в треугольник
Для вписанного круга есть
, что эквивалентно
- (1)
Кроме того - (2)
. (см. диаграмму)
Решая эти два уравнения относительно
один получает
- (3)

Чтобы получить координаты центра, сначала вычисляют с помощью (1) унд (3)

Следовательно

- Мандарт инеллипс
Параметры
для Мандарта inellipse можно получить из свойств точек контакта (см. de: Ankreis ).
- Brocard inellipse
Эллипс треугольника Брокара однозначно определяется его точкой Брианшона, указанной в трилинейные координаты
.[1] Преобразование трилинейных координат в более удобное представление
(видеть трилинейные координаты ) дает
. С другой стороны, если параметры
эллипса, вычисляется по формуле выше для
:
. Уравнивая оба выражения для
и решение для
дает

Инеллипс с наибольшей площадью
- В Штайнер инеллипс имеет наибольшую площадь из всех эллипсов треугольника.
- Доказательство
Из Теорема Аполлония по свойствам сопряженных полудиаметров
эллипса получается:
(см. статью о Эллипс Штейнера ).
Для инэллипса с параметрами
один получает


куда
.
Чтобы опустить корни, достаточно исследовать экстремумы функции
:

Потому что
один получает от обмена s и т:

Решая оба уравнения для s и т дает
которые являются параметрами эллипса Штейнера.
Три соприкасающихся друг с другом эллипса треугольника
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Имре Юхас: Представление эллипсов треугольников на основе контрольных точек, Annales Mathematicae et Informaticae 40 (2012) стр. 37–46, стр. 44
внешняя ссылка