В математический анализ, то теорема начального значения это теорема, используемая для связи частотная область выражения для область времени поведение по мере приближения времени нуль.[1]
Также известен под аббревиатурой IVT.
Позволять

быть (односторонним) Преобразование Лапласа из ƒ(т). Если
ограничен
(или если просто
) и
существует, то по теореме начального значения[2]

Доказательство
Предположим сначала, что
ограничено. Сказать
. Замена переменной в интеграле
показывает, что
.
С
ограничен, Теорема о доминирующей сходимости показывает, что

Конечно, здесь DCT не нужен, можно дать очень простое доказательство, используя только элементарное исчисление:
Начните с выбора
так что
, а затем обратите внимание, что
равномерно за
.)
Теорема, предполагающая только что
следует из теоремы для ограниченного
:Определять
. потом
ограничен, поэтому мы показали, что
.Но
и
, так

поскольку 
Смотрите также
Примечания