Межвременной CAPM - Intertemporal CAPM

В Модель ценообразования межвременных капитальных активов, или ICAPM, является альтернативой CAPM предоставленный Роберт Мертон. Это линейная факторная модель с богатством в качестве переменной состояния, которая прогнозирует изменения в распределении будущих доходов. возвращается или доход.

В ICAPM инвесторы принимают решения о потреблении на протяжении всего срока службы, когда сталкиваются с более чем одной неопределенностью. Основное различие между ICAPM и стандартным CAPM заключается в дополнительных переменных состояния, которые подтверждают тот факт, что инвесторы хеджировать от дефицита потребления или от изменений в будущем вложение набор возможностей.

Версия с непрерывным временем

Мертон^[1] рассматривает рынок с непрерывным временем в равновесии. переменная состояния (X) следует за Броуновское движение:

${displaystyle dX=mu dt+sdZ}$

Инвестор максимизирует свои Утилита фон Неймана – Моргенштерна:

${displaystyle E_{o}left{int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]ight}}$

где T - временной горизонт, а B [W (T), T] - полезность от богатства (W).

У инвестора есть следующее ограничение на богатство (W). Позволять ${displaystyle w_{i}}$ быть весом, инвестированным в актив i. Потом:

${displaystyle W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]}$

где ${displaystyle r_{i}}$ - это доходность актива I. Изменение богатства:

${displaystyle dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}$

Мы можем использовать динамическое программирование решить проблему. Например, если мы рассмотрим серию задач с дискретным временем:

${displaystyle max E_{0}left{sum _{t=0}^{T-dt}int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]ight}}$

Потом Расширение Тейлора дает:

${displaystyle int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}approx U[C(t),t]dt}$

где ${displaystyle t^{*}}$ - значение от t до t + dt.

Предполагая, что возврат следует за Броуновское движение:

${displaystyle r_{i}(t+dt)=alpha _{i}dt+sigma _{i}dz_{i}}$

с участием:

${displaystyle E(r_{i})=alpha _{i}dtquad ;quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=sigma _{i}^{2}dtquad ;quad cov(r_{i},r_{j})=sigma _{ij}dt}$

Затем отмена условий второго и выше порядка:

${displaystyle dWapprox [W(t)sum w_{i}alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)sum w_{i}sigma _{i}dz_{i}}$

С помощью Уравнение беллмана, мы можем повторить проблему:

${displaystyle J(W,X,t)=max;E_{t}left{int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]ight}}$

при условии ограничения богатства, указанного ранее.

С помощью Лемма Ито мы можем переписать:

${displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

и ожидаемое значение:

${displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

После некоторой алгебры^[2], имеем следующую целевую функцию:

${displaystyle maxleft{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[sum _{i=1}^{n}w_{i}(alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{frac {W^{2}}{2}}J_{WW}sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}sigma _{ij}+J_{X}mu +{frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}Wsum _{i=1}^{n}w_{i}sigma _{iX}ight}}$

где ${displaystyle r_{f}}$ безрисковый возврат. Условия первого заказа:

${displaystyle J_{W}(alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}Wsum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}sigma _{ij}+J_{WX}sigma _{iX}=0quad i=1,2,ldots ,n}$

В матричной форме мы имеем:

${displaystyle (alpha -r_{f}{mathbf {1} })={frac {-J_{WW}}{J_{W}}}Omega w^{*}W+{frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

где ${displaystyle alpha }$ вектор ожидаемой доходности, ${displaystyle Omega }$ то ковариационная матрица возвратов, ${displaystyle {mathbf {1} }}$ вектор единства ${displaystyle cov_{rX}}$ ковариация между доходами и переменной состояния. Оптимальный вес:

${displaystyle {mathbf {w} ^{*}}={frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}Omega ^{-1}(alpha -r_{f}{mathbf {1} })-{frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}Omega ^{-1}cov_{rX}}$

Обратите внимание, что межвременная модель предоставляет те же веса CAPM. Ожидаемый доход можно выразить следующим образом:

${displaystyle alpha _{i}=r_{f}+eta _{im}(alpha _{m}-r_{f})+eta _{ih}(alpha _{h}-r_{f})}$

где m - рыночный портфель, а h - портфель для хеджирования переменной состояния.

Смотрите также

• Выбор межвременного портфеля

использованная литература

1. Мертон, Роберт (1973). «Модель межвременного ценообразования капитальных активов». Econometrica. 41 (5): 867–887. Дои:10.2307/1913811. JSTOR  1913811.
2. :${displaystyle E(dW)=-C(t)dt+W(t)sum w_{i}(t)alpha _{i}dt}$

   ${displaystyle var(dW)=[W(t)-C(t)dt]^{2}var[sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)]=W(t)^{2}sum _{i=1}sum _{i=1}w_{i}w_{j}sigma _{ij}dt}$

   ${displaystyle sum _{i=o}^{n}w_{i}(t)alpha _{i}=sum _{i=1}^{n}w_{i}(t)[alpha _{i}-r_{f}]+r_{f}}$

• Мертон Р.С. (1973), Модель ценообразования межвременных капитальных активов. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (сентябрь 1973 г.), стр. 867–887
• «Эффективность многофакторного портфеля и многофакторное ценообразование активов» Юджина Ф. Фама, (Журнал финансового и количественного анализа), Т. 31, No. 4, декабрь 1996 г.