Инвариант двоичной формы - Invariant of a binary form

В математике теория инвариантов, инвариант двоичной формы является многочленом от коэффициентов двоичная форма в двух переменных Икс и у который остается инвариантным относительно специальная линейная группа действуя на переменные Икс и у.

Терминология

Двоичная форма (степени п) - однородный многочлен Σ^п
_я=0 (^п
_я)а_п−яИкс^п−яу^я = а_пИкс^п + (^п
₁)а_п−1Икс^п−1у + ... + а₀у^п. Группа SL₂(C) действует на эти формы, принимая Икс к топор + к и у к сх + dy. Это вызывает действие в пространстве, натянутом на а₀, ..., а_п и от многочленов от этих переменных. An инвариантный является полиномом от этих п + 1 переменная а₀, ..., а_п что инвариантно относительно этого действия. В более общем плане ковариантный является многочленом от а₀, ..., а_п, Икс, у инвариант, поэтому инвариант - это частный случай коварианта, в котором переменные Икс и у не происходит. В более общем плане одновременный инвариант является многочленом от коэффициентов нескольких различных форм в Икс иу.

С точки зрения теория представлений, учитывая любое представление V группы SL₂(C) можно запросить кольцо инвариантных многочленов на V. Инварианты двоичной формы степени п соответствуют взятию V быть (п + 1) -мерное неприводимое представление, а коварианты соответствуют взятию V быть суммой неприводимых представлений размерностей 2 ип + 1.

Инварианты двоичной формы образуют градуированная алгебра, и Гордан (1868) доказал, что эта алгебра конечно порождена, если базовым полем являются комплексные числа.

Формы степеней 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 иногда называют квадриками, кубиками, квартиками, квинтиками, секстиками, септиками или септимиками, октиками или октавиками, нониками и децимами или децимами. «Квантик» - старое название формы произвольной степени. Формы в 1, 2, 3, 4, ... переменных называются унарными, двоичными, троичными, четвертичными, ... формами.

Примеры

Форма ж сам является ковариантом степени 1 и порядка п.

В дискриминант формы является инвариантом.

В результирующий двух форм является одновременным их инвариантом.

Гессен ковариант формы Гильберт (1993, стр.88) - определитель Матрица Гессе

{ displaystyle H (f) = { begin {bmatrix} { frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}} & { frac { partial ^ {2} f} { partial x , partial y}} [10pt] { frac { partial ^ {2} f} { partial y , partial x}} и { frac { partial ^ {2} f } { partial y ^ {2}}} end {bmatrix}}.}

Это ковариант порядка 2п- 4 и 2 степень.

В каталектикант инвариант степени п/ 2 + 1 двоичной формы четной степени п.

В канонизант ковариант степени и порядка (п+1) / 2 двоичной формы нечетной степени п.

В Якобиан

{ displaystyle det { begin {bmatrix} { frac { partial f} { partial x}} & { frac { partial f} { partial y}} [10pt] { frac { частичный g} { partial x}} и { frac { partial g} { partial y}} end {bmatrix}}}

является одновременным инвариантом двух форм ж, грамм.

Кольцо инвариантов

Структура кольца инвариантов разработана для малых степеней. Сильвестр и Франклин (1879) предоставили таблицы количества генераторов инвариантов и ковариантов для форм степени до 10, хотя в таблицах есть несколько незначительных ошибок для больших степеней, в основном там, где несколько инвариантов или ковариантов опущены.

Коварианты двоичной линейной формы

Для линейных форм топор + к единственными инвариантами являются константы. Алгебра ковариантов порождается самой формой степени 1 и порядка 1.

Коварианты двоичной квадрики

Алгебра инвариантов квадратичной формы топор² + 2bxy + Сай² - алгебра полиномов от 1 переменной, порожденная дискриминантом б² − ac степени 2. Алгебра ковариантов - это алгебра полиномов от 2-х переменных, порожденная дискриминантом вместе с формой ж сам (степени 1 и порядка 2). (Шур 1968, II.8) (Гильберт 1993, XVI, XX)

Коварианты двоичной кубики

Алгебра инвариантов кубической формы топор³ + 3bx²у + 3cxy² + dy³ - алгебра полиномов от 1 переменной, порожденная дискриминантом D = 3б²c² + 6abcd − 4б³d − 4c³а − а²d² степени 4. Алгебра ковариантов порождается дискриминантом, самой формой (степень 1, порядок 3), гессианом ЧАС (степень 2, порядок 2) и ковариантный Т степени 3 и порядка 3. Они связаны сизигия 4ЧАС³=Df²-Т² степени 6 и порядка 6. (Шур 1968, II.8) (Гильберт 1993, XVII, XX)

Коварианты двоичной квартики

Алгебра инвариантов квартичной формы порождается инвариантами я, j степеней 2, 3. Это кольцо естественно изоморфно кольцу модулярных форм уровня 1, причем два образующих соответствуют ряду Эйзенштейна E₄ и E₆. Алгебра ковариантов порождается этими двумя инвариантами вместе с формой ж степени 1 и порядка 4, гессен ЧАС степени 2 и порядка 4 и ковариантной Т степени 3 и порядка 6. Они связаны сизигией $jf 3 - Hf 2 я + 4 ЧАС 3 + Т 2 = 0$ степени 6 и порядка 12. (Шур 1968, II.8) (Гильберт 1993, XVIII, XXII)

Коварианты бинарной квинтики

Алгебра инвариантов квинтической формы была найдена Сильвестром и порождается инвариантами степени 4, 8, 12, 18. Генераторы степеней 4, 8, 12 порождают кольцо многочленов, содержащее квадрат косого инварианта Эрмита степень 18. Инварианты довольно сложно выписать явно: Сильвестр показал, что образующие степеней 4, 8, 12, 18 имеют 12, 59, 228 и 848 членов, часто с очень большими коэффициентами. (Шур 1968, II.9) (Гильберт 1993, XVIII) Кольцо ковариантов порождается 23 ковариантами, одна из которых канонизант степени 3 и порядка 3.

Коварианты двоичной секстики

Алгебра инвариантов шестого вида порождается инвариантами степени 2, 4, 6, 10, 15. Генераторы степеней 2, 4, 6, 10 порождают кольцо многочленов, которое содержит квадрат образующей степени 15. . (Шур 1968, II.9) Кольцо ковариантов порождается 26 ковариантами. Кольцо инвариантов тесно связано с пространством модулей кривых рода 2, потому что такую кривую можно представить как двойное покрытие проективной прямой, разветвленной в 6 точках, а эти 6 точек можно взять за корни двоичной sextic.

Коварианты бинарного септика

Кольцо инвариантов бинарных септиков аномально и вызвало несколько опубликованных ошибок. Кэли ошибочно утверждал, что кольцо инвариантов не конечно порождено. Сильвестр и Франклин (1879) дал нижние оценки 26 и 124 для числа образующих кольца инвариантов и кольца ковариантов и заметил, что недоказанный «фундаментальный постулат» будет означать, что равенство имеет место. тем не мение фон Галл (1888) показал, что числа Сильвестра не равны числу образующих, которые равны 30 для кольца инвариантов и не менее 130 для кольца ковариантов, поэтому основной постулат Сильвестра неверен. фон Галл (1888) и Диксмье и Лазар (1986) показал, что алгебра инвариантов формы степени 7 порождается множеством с 1 инвариантом степени 4, 3 степени 8, 6 степени 12, 4 степени 14, 2 степени 16, 9 степени 18 и одного каждой из ступеней 20, 22, 26, 30. Cröni (2002) дает 147 образующих для кольца ковариантов.

Коварианты двоичной октавики

Сильвестр и Франклин (1879) показал, что кольцо инвариантов формы степени 8 порождается 9 инвариантами степеней 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, а кольцо ковариантов порождается 69 ковариантами. Август фон Галль (фон Галл (1880) ) и Сиода (1967) подтвердил образующие кольца инвариантов и показал, что идеал отношений между ними порождается элементами степеней 16, 17, 18, 19, 20.

Коварианты бинарного нонического

Брауэр и Поповичу (2010a) показал, что алгебра инвариантов степени 9 порождается 92 инвариантами. Крёни, Хагедорн и Брауэр^[1] вычислили 476 ковариантов, и Lercier & Olive показали, что этот список является полным.

Коварианты двоичного десятичного числа

Сильвестр заявил, что кольцо инвариантов бинарных децик порождается 104 инвариантами, кольцо ковариантов - 475 ковариантами; его список должен быть верным для степеней до 16, но неверным для более высоких степеней. Брауэр и Поповичу (2010b) показал, что алгебра инвариантов 10-й степени порождается 106 инвариантами. Хагедорн и Брауэр^[1] вычислили 510 ковариантов, и Lercier & Olive показали, что этот список является полным.

Коварианты бинарной ундемики

Кольцо инвариантов бинарных форм степени 11 сложное и еще не описано в явном виде.

Коварианты бинарной двенадцатиперстной кишки

Для форм 12 степени Сильвестр (1881) обнаружил, что в степенях до 14 имеется 109 основных инвариантов. Есть еще как минимум 4 человека более высоких степеней. Количество основных ковариантов не менее 989.

Количество генераторов инвариантов и ковариантов бинарных форм можно найти в (последовательность A036983 в OEIS ) и (последовательность A036984 в OEIS ), соответственно.

Инварианты нескольких бинарных форм

Коварианты бинарной формы по существу такие же, как совместные инварианты бинарной формы и бинарной линейной формы. В более общем плане on может запрашивать совместные инварианты (и коварианты) любого набора двоичных форм. Некоторые случаи, которые были изучены, перечислены ниже.

Коварианты двух линейных форм

Есть 1 основной инвариант и 3 основных коварианта.

Коварианты линейной формы и квадратичной

Есть 2 основных инварианта и 5 основных ковариантов.

Коварианты линейной формы и кубической

Есть 4 основных инварианта (по сути коварианты кубики) и 13 основных ковариантов.

Коварианты линейной формы и квартики

Есть 5 основных инвариантов (по сути, основные коварианты квартики) и 20 основных ковариантов.

Коварианты линейной формы и квинтики

Существует 23 основных инварианта (по сути, основные коварианты квинтики) и 94 основных коварианта.

Коварианты линейной формы и квантовой

Коварианты нескольких линейных форм

Кольцо инвариантов п линейные формы порождаются п(п–1) / 2 инвариантов степени 2. Кольцо ковариантов п линейные формы по сути то же самое, что и кольцо инвариантов п+1 линейные формы.

Коварианты двух квадратик

Есть 3 основных инварианта и 6 основных ковариантов.

Коварианты двух квадратичных и линейной формы

Коварианты нескольких линейных и квадратичных форм

Кольцо инвариантов суммы м линейные формы и п квадратичные формы порождаются м(м–1)/2 + п(п+1) / 2 образующих степени 2, нм(м+1)/2 + п(п–1)(п–2) / 6 в степени 3, а м(м+1)п(п–1) / 4 в степени 4.

Для количества образующих кольца ковариантов заменим м к м+1.

Коварианты квадратичной и кубической

Есть 5 основных инвариантов и 15 основных ковариантов.

Коварианты квадратичной и квартики

Есть 6 основных инвариантов и 18 основных ковариантов.

Коварианты квадратичной и квинтики

Есть 29 основных инвариантов и 92 основных коварианта.

Коварианты кубики и квартики

Есть 20 основных инвариантов и 63 основных коварианта.

Коварианты двух квартик

Существует 8 основных инвариантов (3 степени 2, 4 степени 3 и 1 степени 4) и 28 основных ковариантов. (Гордан дал 30 ковариантов, но Сильвестр показал, что две из них приводимы.)

Коварианты многих кубиков или квартик

Количество генераторов инвариантов или ковариантов задавалось формулой Молодой (1899).

Смотрите также

внешняя ссылка

Брауэр, Андрис Э., Инварианты бинарных форм

[aeb-1] а ^б Брауэр, Инварианты и коварианты квантов.

[1]