Функция Invex - Invex function

В векторное исчисление, функция invex это дифференцируемая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ к ${\displaystyle \mathbb {R} }$ для которого существует вектор-функция ${\displaystyle \eta }$ такой, что

${\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,}$

для всех Икс и ты.

Инвексные функции были введены Хэнсоном как обобщение выпуклые функции.^[1] Бен-Исраэль и Монд представили простое доказательство того, что функция является обратимой тогда и только тогда, когда каждая стационарный пункт это глобальный минимум, теорема, впервые сформулированная Крейвеном и Гловером.^[2][3]

Хэнсон также показал, что если цель и ограничения проблема оптимизации выпуклые по отношению к той же функции ${\displaystyle \eta (x,u)}$, то Условия Каруша – Куна – Таккера. достаточны для глобального минимума.

Invex-функции типа I

Небольшое обобщение invex функций, называемых Invex-функции типа I являются наиболее общим классом функций, для которых Условия Каруша – Куна – Таккера. необходимы и достаточны для глобального минимума.^[4] Рассмотрим математическую программу вида

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{s.t.}}&g(x)\leq 0\end{array}}}$

куда ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$- дифференцируемые функции. Позволять ${\displaystyle F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}}$обозначают возможные области этой программы. Функция ${\displaystyle f}$ это Тип I целевая функция и функция ${\displaystyle g}$ это Функция ограничения типа I в ${\displaystyle x_{0}}$относительно ${\displaystyle \eta }$ если существует вектор-функция ${\displaystyle \eta }$ определено на ${\displaystyle F}$ такой, что

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}$

и

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}$

для всех ${\displaystyle x\in {F}}$.^[5] Обратите внимание, что, в отличие от выпуклости, выпуклость типа I определяется относительно точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Теорема (теорема 2.1 в^[4]): Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ являются выпуклыми типами I в точке ${\displaystyle x^{*}}$относительно ${\displaystyle \eta }$, а Условия Каруша – Куна – Таккера. удовлетворены ${\displaystyle x^{*}}$, тогда ${\displaystyle x^{*}}$является глобальным минимизатором ${\displaystyle f}$ над ${\displaystyle F}$.

Смотрите также

• Выпуклая функция
• Псевдовыпуклая функция
• Квазивыпуклая функция

Рекомендации

1. Хэнсон, Морган А. (1981). «О достаточности условий Куна-Таккера». Журнал математического анализа и приложений. 80 (2): 545–550. Дои:10.1016 / 0022-247X (81) 90123-2. HDL:10338.dmlcz / 141569. ISSN  0022-247X.
2. Бен-Исраэль, А .; Монд Б. (1986). "Что такое распутство?". Журнал ANZIAM. 28 (1): 1–9. Дои:10.1017 / S0334270000005142. ISSN  1839-4078.
3. Craven, B.D .; Гловер, Б. М. (1985). «Инвексные функции и двойственность». Журнал Австралийского математического общества. 39 (1): 1–20. Дои:10.1017 / S1446788700022126. ISSN  0263-6115.
4. Хэнсон, Морган А. (1999). «Невыпуклость и теорема Куна – Таккера». Журнал математического анализа и приложений. 236 (2): 594–604. Дои:10.1006 / jmaa.1999.6484. ISSN  0022-247X.
5. Hanson, M. A .; Монд Б. (1987). «Необходимые и достаточные условия при ограниченной оптимизации». Математическое программирование. 37 (1): 51–58. Дои:10.1007 / BF02591683. ISSN  1436-4646.

дальнейшее чтение

С. К. Мишра, Г. Георгий, Невыпуклость и оптимизация, Невыпуклая оптимизация и ее приложения, Vol. 88, Springer-Verlag, Берлин, 2008 г.

С. К. Мишра, С.-Й. Ван, К. К. Лай, Обобщенная выпуклость и векторная оптимизация, Спрингер, Нью-Йорк, 2009.