Жак Тушар - Jacques Touchard

Жак Тушар (1885–1968) был Французский математик. В 1953 году он доказал, что странный идеальное число должен иметь вид 12k +1 или 36k + 9. В комбинаторика и теория вероятности, он представил Полиномы Тушара. Он также известен своим решением проблемы проблема с мужем подсчета рассадки, при которой мужчины и женщины чередуются и не сидят рядом со своими супругами.

Каталонская идентичность Тушара

Следующее алгебраическое тождество, включающее Каталонские числа

${\displaystyle C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0}$

очевидно, из-за Тушара (согласно Ричард П. Стэнли, который упоминает об этом в своей статье-панораме "Упражнения на каталонском и родственных ему числах «дает огромное количество различных определений каталонских чисел). п ≥ 0 есть

${\displaystyle C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}.\,}$

С использованием производящая функция

${\displaystyle C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}}$

это может быть доказано алгебраическими манипуляциями с порождающими серии что личность Тушара эквивалентна функциональное уравнение

${\displaystyle {t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1}$

удовлетворены каталонской производящей серией C(т).

дальнейшее чтение

Канадский математический журнал 1956 г., Том 8, № 3 .; Журнал на французском языке