Гипотеза Кете - Köthe conjecture

В математика, то Гипотеза Кете проблема в теория колец, открыт с 2020 г.. Формулируется по-разному. Предположим, что р это звенеть. Один из способов сформулировать гипотезу состоит в том, что если р не имеет нулевой идеал, кроме {0}, то в нем нет нуля односторонний идеал, кроме {0}.

Этот вопрос был задан в 1930 г. Готфрид Кете (1905–1989). Доказано, что гипотеза Кете верна для различных классов колец, таких как кольца полиномиальных единиц[1] и правильно Нётерские кольца,[2] но общее решение остается неуловимым.

Эквивалентные составы

Гипотеза имеет несколько различных формулировок:[3][4][5]

  1. (Гипотеза Кете) В любом кольце сумма двух nil левых идеалов равна нулю.
  2. В любом кольце сумма двух односторонних ниль идеалов равна нулю.
  3. В любом кольце каждый ниль левый или правый идеал кольца содержится в верхний нулевой радикал кольца.
  4. Для любого кольца р и для любого нулевого идеала J из р, матричный идеал Mп(J) - ниль-идеал в Mп(р) для каждого п.
  5. Для любого кольца р и для любого нулевого идеала J из р, матричный идеал M2(J) - ниль-идеал в M2(р).
  6. Для любого кольца р, верхний нильрадикал Mп(р) - множество матриц с элементами из верхнего нильрадикала р для каждого положительного целого числа п.
  7. Для любого кольца р и для любого нулевого идеала J из р, многочлены с неопределенными Икс и коэффициенты из J лежать в Радикал Якобсона кольца многочленов р[Икс].
  8. Для любого кольца ррадикал Якобсона р[Икс] состоит из многочленов с коэффициентами из верхнего нильрадикала р.

Связанные проблемы

Гипотеза Амицура гласила: «Если J является нулевым идеалом в р, тогда J[Икс] - ниль-идеал кольца многочленов р[Икс]."[6] Эта гипотеза, если она верна, доказала бы гипотезу Кете с помощью эквивалентных утверждений выше, однако контрпример был приведен Агата Смоктунович.[7] Хотя это не является опровержением гипотезы Кете, это вызвало подозрения, что гипотеза Кете в целом может быть ложной.[8]

В (Кегель 1962 ), было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подкольцев, само является нильпотентным. Возник вопрос, можно ли заменить «нильпотентный» на «локально нильпотентный» или «нильпотентный». Частичный прогресс был достигнут, когда Келарев[9] произвел пример кольца, которое не является нулем, но является прямой суммой двух локально нильпотентных колец. Это демонстрирует, что на вопрос Кегеля с заменой слова «локально нильпотентный» на «нильпотентный» дан отрицательный ответ.

Сумма нильпотентного подкольца и нулевого подкольца всегда равна нулю.[10]

Рекомендации

  • Кете, Готфрид (1930), "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist", Mathematische Zeitschrift, 32 (1): 161–186, Дои:10.1007 / BF01194626
  1. ^ Джон К. МакКоннелл, Джеймс Кристофер Робсон, Лэнс В. Смолл, Некоммутативные нётеровы кольца (2001), стр. 484.
  2. ^ Лам, Т.Ю., Первый курс в некоммутативных кольцах (2001), стр.164.
  3. ^ Кремпа, Дж., "Логические связи между некоторыми открытыми проблемами, касающимися ниль-колец", Fundamenta Mathematicae 76 (1972), нет. 2, 121–130.
  4. ^ Лам, T.Y., Первый курс в некоммутативных кольцах (2001), стр.171.
  5. ^ Лам, T.Y., Упражнения по классической теории колец (2003), стр. 160.
  6. ^ Амицур, С.А. Нет радикалов. Исторические заметки и некоторые новые результаты Кольца, модули и радикалы (Proc. Internat. Colloq., Keszthely, 1971), стр. 47–65. Коллок. Математика. Soc. Янош Бойяи, Vol. 6, Северная Голландия, Амстердам, 1973.
  7. ^ Смоктунович, Агата. Кольца многочленов над нулевыми кольцами не обязательно должны быть нулевыми J. Алгебра 233 (2000), вып. 2, стр. 427–436.
  8. ^ Лам, Т.Ю., Первый курс в некоммутативных кольцах (2001), стр.171.
  9. ^ Келарев А. В. Сумма двух локально нильпотентных колец не может быть нулем // Арх. Математика. 60 (1993), стр. 431–435.
  10. ^ Ферреро, М., Пучиловски, Э. Р., О кольцах, которые являются суммами двух подколец, Arch. Математика. 53 (1989), стр. 4–10.

внешняя ссылка