Нет идеал - Nil ideal - Wikipedia

В математика, более конкретно теория колец, левый, правый или двусторонний идеальный из звенеть считается нулевой идеал если каждый из его элементов нильпотентный.^[1]^[2]

В нильрадикал из коммутативное кольцо является примером нулевого идеала; фактически, это идеал кольца, максимальный по свойству быть нулевым. К сожалению, набор элементов nil не всегда идеален для некоммутативные кольца. Нильские идеалы до сих пор связаны с интересными открытыми вопросами, особенно с нерешенными. Гипотеза Кете.

Коммутативные кольца

В коммутативных кольцах нильидеалы поняты лучше, чем в некоммутативных кольцах, в первую очередь потому, что в коммутативных кольцах произведения, содержащие нильпотентные элементы и суммы нильпотентных элементов нильпотентны. Это потому, что если а и б являются нильпотентными элементами р с а^п= 0 и б^м= 0, а r - любой элемент из R, то (а·р)^п = а^п·р^п = 0, и по биномиальной теореме (а+б)^{т + п}= 0. Следовательно, набор всех нильпотентных элементов образует идеал, известный как нильрадикал кольца. Поскольку нильрадикал содержит каждый нильпотентный элемент, идеал коммутативного кольца равен нулю тогда и только тогда, когда он является подмножеством нильрадикала, и поэтому нильрадикал является максимальным среди ниль-идеалов. Кроме того, для любого нильпотентного элемента а коммутативного кольца р, идеал aR равно нулю. Однако для некоммутативного кольца в общем случае неверно, что набор нильпотентных элементов образует идеал или что а·р - ниль (односторонний) идеал, даже если а нильпотентен.

Некоммутативные кольца

Теория нильидеалов имеет большое значение в некоммутативной теории колец. В частности, через понимание ноль кольца - кольца, каждый элемент которых нильпотентен - можно гораздо лучше понять более общие кольца.^[3]

В случае коммутативных колец всегда существует максимальный ниль-идеал: нильрадикал кольца. Существование такого максимального ниль-идеала в случае некоммутативных колец гарантируется тем, что сумма ниль-идеалов снова равна нулю. Однако истинность утверждения, что сумма двух левых ниль-идеалов снова является левым ниль-идеалом, остается неуловимой; это открытая проблема, известная как Гипотеза Кете.^[4] Гипотеза Кете была впервые высказана в 1930 году и до сих пор остается нерешенной по состоянию на 2010 год.

Отношение к нильпотентным идеалам

Понятие нулевого идеала имеет глубокую связь с понятием нулевого идеала. нильпотентный идеал, а в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, равен нулю. Есть два основных препятствия, мешающих нильпотентным идеалам:

Необязательно иметь верхнюю границу экспоненты, необходимой для уничтожения элементов. Могут потребоваться произвольно высокие показатели.
Продукт п нильпотентные элементы могут быть ненулевыми при сколь угодно высоком п.

Очевидно, что необходимо избегать обоих этих препятствий, чтобы нулевой идеал мог считаться нильпотентным.

В правое артиновское кольцо, любой ниль-идеал нильпотентен.^[5] Это доказывается тем, что любой ниль-идеал содержится в Радикал Якобсона кольца, и поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (в силу артиновой гипотезы), результат следует. Фактически, это было обобщено на правые нётеровские кольца; результат известен как Теорема Левицкого. Особенно простое доказательство, принадлежащее Утуми, можно найти в (Херштейн 1968, Теорема 1.4.5, с. 37).

Смотрите также

Примечания

^ Айзекс 1993, п. 194
^ Херштейн 1968, Определение (б), с. 13
^ Раздел 2 Смоктунович 2006, п. 260
^ Херштейн 1968, п. 21 год
^ Айзекс 1993, Следствие 14.3, с. 195.