Нильпотентный идеал - Nilpotent ideal

В математика, более конкретно теория колец, идеальный я из звенеть р считается нильпотентный идеал если существует натуральное число k такой, что я k = 0.[1] К я k, имеется ввиду добавка подгруппа генерируется набор всех продуктов k элементы в я.[1] Следовательно, я нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число k так что продукт любого k элементы я равно 0.

Понятие нильпотентного идеала намного сильнее, чем понятие нильпотентного идеала. нулевой идеал во многих классы колец. Однако бывают случаи, когда эти два понятия совпадают - пример Теорема Левицкого.[2][3] Понятие нильпотентного идеала, хотя и интересно в случае коммутативные кольца, наиболее интересен в случае некоммутативные кольца.

Отношение к нулевым идеалам

Понятие ниль-идеала имеет глубокую связь с понятием нильпотентного идеала, и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, равен нулю, но нулевой идеал не обязательно должен быть нильпотентным по более чем одной причине. Во-первых, не требуется глобальной верхней границы для показателя степени, необходимой для уничтожения различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не заставляет произведения различных элементов обращаться в нуль.[1]

В право Артинианское кольцо, любой ниль-идеал нильпотентен.[4] Это доказывается тем, что любой ниль-идеал содержится в Радикал Якобсона кольца, и поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (в силу артиновой гипотезы), результат следует. Фактически, это можно обобщить на право Нётерские кольца; этот результат известен как Теорема Левицкого.[3]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c Айзекс 1993, п. 194.
  2. ^ Айзекс, теорема 14.38, с. 210
  3. ^ а б Херштейн 1968, Теорема 1.4.5, с. 37.
  4. ^ Айзекс, следствие 14.3, с. 195

Рекомендации

  • В. Герштейн (1968). Некоммутативные кольца (1-е изд.). Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-015-X.
  • И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Издательство Brooks / Cole. ISBN  0-534-19002-2.