K-эквивалентность - K-equivalence

В математика, ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-эквивалентность, или контактная эквивалентность, является отношение эквивалентности между карта микробов. Он был представлен Джон Мэзер в его основополагающей работе в Теория сингулярности в 1960-х годах как технический инструмент для изучения стабильных карт. С тех пор это само по себе стало важным. Грубо говоря, два ростка карты ƒ, грамм находятся ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {K}}}$-эквивалентно, если ƒ⁻¹(0) и грамм⁻¹(0) являются диффеоморфный.

Определение

Два ростка карты ${\displaystyle f,g:X\to (Y,0)}$ находятся ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {K}}}$-эквивалентно, если есть диффеоморфизм

${\displaystyle \Psi :X\times Y\to X\times Y}$

вида Ψ (x, y) = (φ (x), ψ (x, y)), удовлетворяющее,

${\displaystyle \Psi (x,0)=(\varphi (x),0)}$, и

${\displaystyle \Psi (x,f(x))=(\varphi (x),g(\varphi (x)))}$.

Другими словами, Ψ отображает график ж к графику грамм, а также график нулевого отображения в себя. В частности, диффеоморфизм φ отображает ж⁻¹(0) в грамм⁻¹(0). Название контакт объясняется тем, что эта эквивалентность измеряет контакт между графиком ж и график нулевого отображения.

Контактная эквивалентность - это подходящее отношение эквивалентности для изучения множеств решений уравнений, которое находит множество приложений в динамические системы и теория бифуркации, Например.

Легко видеть, что это отношение эквивалентности имеет вид слабее чем А-эквивалентность, в которой любая пара ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$-эквивалентные ростки карты обязательно ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {K}}}$-эквивалент.

K_V-эквивалентность

Эта модификация ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {K}}}$-эквивалентность введена Джеймс Дэймон в 1980-е гг. Вот V является подмножеством (или подмногообразием) Y, а указанный выше диффеоморфизм требуется для сохранения не ${\displaystyle X\times \{0\}}$ но ${\displaystyle X\times V}$ (то есть, ${\displaystyle y\in V\Rightarrow \psi (x,y)\in V}$). В частности, Ψ отображает ж⁻¹(V) к грамм⁻¹(V).

Смотрите также

• А-эквивалентность

использованная литература

• Ж. Мартине, Особенности гладких функций и отображений., Том 58 из серии лекций LMS. Издательство Кембриджского университета, 1982.
• Дж. Дэймон, Теоремы о развертывании и детерминированности для подгрупп группы ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {K}}}$. Воспоминания амер. Математика. Soc. 50, нет. 306 (1984).