K-граф C * -алгебра - K-graph C*-algebra

В математика, а k-граф (или более высокого ранга график, граф ранга k) является счетный категория ${\displaystyle \Lambda }$ с участием домен и codomain карты ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$вместе с функтор ${\displaystyle d:\Lambda \to \mathbb {N} ^{k}}$ который удовлетворяет следующему факторизация свойство: если ${\displaystyle d(\lambda )=m+n}$ то есть уникальные ${\displaystyle \mu ,\nu \in \Lambda }$ с участием ${\displaystyle d(\mu )=m,d(\nu )=n}$ такой, что ${\displaystyle \lambda =\mu \nu }$.

Помимо определения теории категорий, можно думать о k-графах как о многомерных аналогах ориентированных графов (орграфов). k- здесь означает количество «цветов» ребер, которые участвуют в графе. Если k = 1, k-граф - это просто регулярный ориентированный граф. Если k = 2, в графе участвуют ребра двух разных цветов, и должны быть определены дополнительные правила факторизации двухцветных эквивалентных классов. Правило факторизации каркаса k-графа - это то, что отличает один k-граф, определенный на том же каркасе, от другого k-графа. k- может быть любым натуральным числом, большим или равным 1.

Причина, по которой k-графы были впервые введены Kumjian, Pask et. al. Из них было создать примеры C * -алгебры. k-графы состоят из двух частей: скелета и правил факторизации, определенных для данного скелета. Как только k-граф определен правильно, можно определить функции, называемые 2-коциклами, на каждом графе, а C * -алгебры могут быть построены из k-графов и 2-коциклов. k-графы относительно просты для понимания с точки зрения теории графов, но достаточно сложны, чтобы выявить различные интересные свойства на уровне C * -алгебры. Такие свойства, как гомотопия и когомологии на 2-коциклах, определенных на k-графах, имеют значение для исследований C * -алгебры и K-теории. Никакого другого известного использования k-графов до сих пор не существует. k-графы изучаются исключительно с целью создания из них C * -алгебр.

Задний план

Теория конечных графов в ориентированном графе формирует математическую категорию при конкатенации, называемую категорией свободных объектов (которая порождается графом). Длина пути в ${\displaystyle E}$ дает функцию из этой категории в натуральные числа ${\displaystyle \mathbb {N} }$.A k-граф является естественным обобщением этой концепции, введенной в 2000 году Алексом Кумджяном и Дэвидом Паском.^[1]

Примеры

• Можно показать, что 1-граф - это в точности категория путей ориентированного графа.
• Категория ${\displaystyle T^{k}}$ состоящий из одного объекта и k коммутирующие морфизмы ${\displaystyle {f_{1},...,f_{k}}}$вместе с картой ${\displaystyle d:T^{k}\to \mathbb {N} ^{k}}$ определены ${\displaystyle d(f_{1}^{n_{1}}...f_{k}^{n_{k}})=(n_{1},\ldots ,n_{k})}$, является k-графом.
• Позволять ${\displaystyle \Omega _{k}=\{(m,n):m,n\in \mathbb {Z} ^{k},m\leq n\}}$ тогда ${\displaystyle \Omega _{k}}$ является k-графом при наличии структурных отображений ${\displaystyle r(m,n)=(m,m)}$, ${\displaystyle s(m,n)=(n,n)}$, ${\displaystyle (m,n)(n,p)=(m,p)}$ и ${\displaystyle d(m,n)=n-m}$.

Обозначение

Обозначения для k-графов широко заимствованы из соответствующих обозначений для категорий:

• Для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{k}}$ позволять ${\displaystyle \Lambda ^{n}=d^{-1}(n)}$.
• По свойству факторизации следует, что ${\displaystyle \Lambda ^{0}=\operatorname {Obj} (\Lambda )}$.
• Для ${\displaystyle v,w\in \Lambda ^{0}}$ и ${\displaystyle X\subseteq \Lambda }$ у нас есть ${\displaystyle vX=\{\lambda \in X:r(\lambda )=v\}}$, ${\displaystyle Xw=\{\lambda \in X:s(\lambda )=w\}}$ и ${\displaystyle vXw=vX\cap Xw}$.
• Если ${\displaystyle 0<\#v\Lambda ^{n}<\infty }$ для всех ${\displaystyle v\in \Lambda ^{0}}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{k}}$ тогда ${\displaystyle \Lambda }$ называется конечной по строкам без источников.

Визуализация - Скелеты

K-граф лучше всего визуализировать, нарисовав его 1-скелет в виде k-цветной граф ${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s,c)}$ где${\displaystyle E^{0}=\Lambda ^{0}}$, ${\displaystyle E^{1}=\cup _{i=1}^{k}\Lambda ^{e_{i}}}$, ${\displaystyle r,s}$ унаследовано от ${\displaystyle \Lambda }$и ${\displaystyle c:E^{1}\to \{1,\ldots ,k\}}$ определяется ${\displaystyle c(e)=i}$если и только если ${\displaystyle e\in \Lambda ^{e_{i}}}$ где ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ канонические генераторы для ${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$. Свойство факторизации в ${\displaystyle \Lambda }$ для элементов степени ${\displaystyle e_{i}+e_{j}}$ где ${\displaystyle i\neq j}$ порождает отношения между краями${\displaystyle E}$.

C * -алгебра

Как и в случае с граф-алгебрами, можно связать C * -алгебру с k-графом:

Позволять ${\displaystyle \Lambda }$ конечный по строкам k-граф без источников, то Кунц – Кригер ${\displaystyle \Lambda }$ семья в C * -алгебра B это коллекция ${\displaystyle \{s_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$ из операторы в B такой, что

1. ${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=s_{\lambda \mu }}$ если ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\lambda \mu \in \Lambda }$;
2. ${\displaystyle \{s_{v}:v\in \Lambda ^{0}\}}$ взаимно ортогональны прогнозы;
3. если ${\displaystyle d(\mu )=d(\nu )}$ тогда ${\displaystyle s_{\mu }^{*}s_{\nu }=\delta _{\mu ,\nu }s_{s(\mu )}}$;
4. ${\displaystyle s_{v}=\sum _{\lambda \in v\Lambda ^{n}}s_{\lambda }s_{\lambda }^{*}}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{k}}$ и ${\displaystyle v\in \Lambda ^{0}}$.

${\displaystyle C^{*}(\Lambda )}$ тогда универсальный C * -алгебра, порожденная алгеброй Кунца – Кригера ${\displaystyle \Lambda }$-семья.

использованная литература

1. Kumjian, A .; Паск, Д.А. (2000), "C * -алгебры графов высшего ранга", Нью-Йоркский математический журнал, 6: 1–20

• Реберн, И., Алгебры графов, Серия региональных конференций CBMS по математике, 103, Американское математическое общество