Калаис 3^d догадка - Kalais 3^d conjecture - Wikipedia

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Каждый -мерный центрально-симметричный многогранник имеет не менее непустые лица?
(больше нерешенных задач по математике)

В геометрии Калаи 3d догадка это догадка на многогранная комбинаторика из центрально-симметричный многогранники, сделан Гил Калаи в 1989 г.[1] В нем говорится, что каждый d-мерный центрально-симметричный многогранник имеет не менее 3d непустой лица (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество).

Примеры

Куб и октаэдр, два примера, для которых оценка гипотезы жесткая

В двух измерениях простейший центрально-симметричный выпуклые многоугольники являются параллелограммы, которые имеют четыре вершины, четыре ребра и один многоугольник; 4 + 4 + 1 = 9 = 32. А куб центрально симметричен, имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных сторон и 1 твердое тело; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 33. Еще один трехмерный выпуклый многогранник, то правильный октаэдр, также центрально-симметричен и имеет 6 вершин, 12 ребер, 8 треугольных сторон и 1 твердое тело; 6 + 12 + 8 + 1 = 27 = 33.

В более высоких измерениях гиперкуб [0,1]d имеет ровно 3d лица, каждое из которых можно определить, указав, для каждого из d оси координат, независимо от того, проецируется ли грань на эту ось на точку 0, точку 1 или интервал [0,1]. В более общем плане каждый Многогранник Ханнера имеет ровно 3d лица. Если гипотеза Калаи верна, эти многогранники будут среди центрально-симметричных многогранников с наименьшим возможным количеством граней.[1]

Обобщения

В той же работе, что и та, в которой 3d предположение, Калаи предположил более решительно, что ж-вектор каждого выпуклого центрально-симметричного многогранника п доминирует над ж-вектор хотя бы одного многогранника Ханнера ЧАС того же измерения. Это означает, что для каждого числа я от 0 до размерности п, количество я-мерные грани п больше или равно количеству я-мерные грани ЧАС. Если бы это было правдой, это означало бы истину трехd догадка; однако позднее более сильное предположение было опровергнуто.[2]

Положение дел

Как известно, гипотеза верна для .[2] Также известно, что это верно для симплициальные многогранники: в данном случае следует из гипотезы Имре Барань и Ласло Ловас  (1982 ), что каждый центрально-симметричный симплициальный многогранник имеет по крайней мере столько же граней каждой размерности, сколько кросс-многогранник, что доказано Ричард Стэнли  (1987 ).[3][4] Действительно, эти две предыдущие статьи были процитированы Калаи как часть основания для его предположения.[1] Другой специальный класс многогранников, для которого гипотеза доказана, - это многогранники Многогранники Хансена из разбить графы, который использовался Рагнаром Фрейем, Матиасом Хенце и Морицем Шмиттом и др. (2013 ), чтобы опровергнуть более сильные предположения Калаи.[5]

3d Гипотеза остается открытой для произвольных многогранников в высших размерностях.

Рекомендации

  1. ^ а б c Калаи, Гил (1989), "Число граней центрально-симметричных многогранников", Графы и комбинаторика, 5 (1): 389–391, Дои:10.1007 / BF01788696, МИСТЕР  1554357.
  2. ^ а б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи о центрально-симметричных многогранниках», Дискретная и вычислительная геометрия, 41 (2): 183–198, arXiv:0708.3661, Дои:10.1007 / s00454-008-9104-8, МИСТЕР  2471868/
  3. ^ Барань, Имре; Ловас, Ласло (1982), "Теорема Борсука и число граней центрально-симметричных многогранников", Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 40 (3–4): 323–329, Дои:10.1007 / BF01903592, МИСТЕР  0686332.
  4. ^ Стэнли, Ричард П. (1987), "О числе граней центрально-симметричных симплициальных многогранников", Графы и комбинаторика, 3 (1): 55–66, Дои:10.1007 / BF01788529, МИСТЕР  0932113.
  5. ^ Фрейдж, Рагнар; Хенце, Матиас; Schmitt, Moritz W .; Циглер, Гюнтер М. (2013), «Числа граней центрально-симметричных многогранников, образованных из расщепленных графов», Электронный журнал комбинаторики, 20 (2): # P32, arXiv:1201.5790, Дои:10.37236/3315, МИСТЕР  3066371.