Многогранник Ханнера - Hanner polytope

В геометрии Многогранник Ханнера это выпуклый многогранник построен рекурсивно Декартово произведение и полярный двойной операции. Многогранники Ханнера названы в честь Улоф Ханнер, который представил их в 1956 году.[1]

Строительство

Многогранники Ханнера рекурсивно строятся по следующим правилам:[2]

  • Отрезок - это одномерный многогранник Ханнера
  • Декартово произведение каждых двух многогранников Ханнера - это еще один многогранник Ханнера, размерность которого является суммой размерностей двух данных многогранников.
  • Двойственный многогранник Ханнера - это другой многогранник Ханнера той же размерности.

Это в точности те многогранники, которые можно построить, используя только эти правила: то есть каждый многогранник Ханнера может быть образован из отрезков прямых с помощью последовательности произведения и двойных операций.[2]

Альтернативно и эквивалентно полярной двойственной операции многогранники Ханнера могут быть построены декартовыми произведениями и прямые суммы, двойственное декартово произведение. Эта операция прямого суммирования объединяет два многогранника, помещая их в два линейно независимых подпространства большего пространства, а затем конструируя выпуклый корпус их союза.[3][4]

Примеры

Трехмерный куб и его двойственный, октаэдр, два трехмерных многогранника Ханнера
Диаграмма Шлегеля из восьмигранная призма

А куб является многогранником Ханнера и может быть построен как декартово произведение трех отрезков прямых. Его двойственный, октаэдр, также является многогранником Ханнера, прямой суммой трех отрезков. В трех измерениях все многогранники Ханнера комбинаторно эквивалентны одному из этих двух типов многогранников.[5] В более высоких измерениях гиперкубы и перекрестные многогранники, аналоги куба и октаэдра, снова являются многогранниками Ханнера. Однако возможны и другие примеры. Например, восьмигранная призма, четырехмерный призма с октаэдром в качестве основания также является многогранником Ханнера, как и его двойственная кубическая бипирамида.

Характеристики

Координатное представление

Каждому многограннику Ханнера могут быть заданы координаты вершин 0, 1 или −1.[6] Более точно, если п и Q являются многогранниками Ханнера с координатами в этой форме, то координаты вершин декартова произведения п и Q формируются путем конкатенации координат вершины в п с координатами вершины в Q. Координаты вершин прямой суммы п и Q формируются либо путем конкатенации координат вершины в п с вектором нулей, или путем конкатенации вектора нулей с координатами вершины в Q.

Поскольку полярный двойственный многогранник Ханнера является другим многогранником Ханнера, многогранники Ханнера обладают тем свойством, что и они, и их двойственные многогранники имеют координаты в {0,1, −1}.[6]

Количество лиц

Каждый многогранник Ханнера является центрально-симметричный, и имеет ровно 3d непустой лица (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество). Например, куб имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратов и 1 куб (сам) в качестве граней; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 33. Многогранники Ханнера образуют важный класс примеров для Калаи 3d догадка что все центрально-симметричные многогранники имеют не менее 3d непустые лица.[3]

Пары противоположных граней и вершин

В многограннике Ханнера каждые две противоположные грани не пересекаются и вместе включают все вершины многогранника, так что выпуклый корпус двух граней - это весь многогранник.[6][7] Как простое следствие этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое количество вершин друг у друга (половину числа вершин всего многогранника). Однако не все грани изоморфны друг другу. Например, в восьмигранная призма, две из граней - октаэдры, а остальные восемь - треугольные призмы. Двойственно в каждом многограннике Ханнера каждые две противоположные вершины касаются непересекающихся наборов граней и вместе касаются всех граней многогранника.

Объем Малера

В Объем Малера многогранника Ханнера (произведение его объема на объем его полярного двойника) такое же, как для куба или кросс-многогранника. Если Гипотеза Малера верно, эти многогранники являются минимизаторами объема Малера среди всех центрально-симметричных выпуклые тела.[8]

Хелли недвижимость

Переводы гиперкуб (или его аффинного преобразования, параллелотоп ) образуют Семья Хелли: каждый набор трансляций, имеющих непустые попарные пересечения, имеет непустое пересечение. Более того, это единственные выпуклые тела с этим свойством.[9]Для любого другого центрально-симметричного выпуклого многогранника K, Ханнер (1956) определенный я(K) как наименьшее количество переводов K которые не образуют семейство Хелли (они попарно пересекаются, но имеют пустое пересечение). Он показал, что я(K) либо три, либо четыре, и дал многогранники Ханнера в качестве примеров многогранников, для которых это четыре. Хансен и Лима (1981) позже показал, что это свойство может быть использовано для характеристики многогранников Ханнера: они (с точностью до аффинного преобразования) в точности те многогранники, для которых я(K) > 3.[10]

Комбинаторное перечисление

Число комбинаторных типов многогранников Ханнера размерности d такое же, как количество просто последовательно-параллельные графы с d немаркированные края.[4] За d = 1, 2, 3, ... это:

1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, ... (последовательность A058387 в OEIS ).

Более явный биекция между многогранниками Ханнера размерности d и кографы с d вершины задаются Рейснер (1991). Для этой биекции предполагается, что многогранники Ханнера представлены геометрически с использованием координат в {0,1, −1}, а не как классы комбинаторной эквивалентности; в частности, существуют две различные геометрические формы многогранника Ханнера даже в двух измерениях: квадрат с координатами вершин (± 1, ± 1) и ромб с координатами вершин (0, ± 1) и (± 1,0). Учитывая d-мерный многогранник с координатами вершин в {0,1, −1}, Рейснер определяет связанный граф, d вершины соответствуют единичным векторам пространства, содержащего многогранник, два вектора которого соединены ребром, если их сумма лежит вне многогранника. Он замечает, что графы многогранников Ханнера являются кографами, которые он характеризует двумя способами: графы без индуцированный путь длины три, и графы, все индуцированные подграфы которых либо несвязны, либо являются дополнениями к несвязным графам. И наоборот, каждый кограф может быть представлен таким образом многогранником Ханнера.[6]

Пространства Ханнера

Многогранники Ханнера - это единичные шары семейства конечномерных Банаховы пространства называется Пространства Ханнера.[7] Пространства Ханнера - это пространства, которые могут быть построены из одномерных пространств с помощью и комбинации.[1]

Рекомендации

  1. ^ а б Ханнер, Олоф (1956), "Пересечения сдвигов выпуклых тел", Mathematica Scandinavica, 4: 65–87, МИСТЕР  0082696.
  2. ^ а б Фрей, Рагнар (2012), Темы алгоритмической, перечислительной и геометрической комбинаторики (PDF), Кандидат наук. докторская диссертация, Отделение математических наук, Технологический институт Чалмерса.
  3. ^ а б Калаи, Гил (1989), "Число граней центрально-симметричных многогранников", Графы и комбинаторика, 5 (1): 389–391, Дои:10.1007 / BF01788696, МИСТЕР  1554357.
  4. ^ а б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи о центрально-симметричных многогранниках», Дискретная и вычислительная геометрия, 41 (2): 183–198, arXiv:0708.3661, Дои:10.1007 / s00454-008-9104-8, МИСТЕР  2471868/
  5. ^ Козачок, Марина (2012), "Совершенные призматоиды и гипотеза о числе граней центрально-симметричных многогранников", Ярославская международная конференция "Дискретная геометрия", посвященная 100-летию А.Д. Александрова (Ярославль, 13-18 августа 2012 г.) (PDF), П.Г. Демидова Ярославский государственный университет, Международный Б.Н. Лаборатория Делоне, стр. 46–49.[постоянная мертвая ссылка ].
  6. ^ а б c d Рейснер, С. (1991), "Некоторые банаховы пространства, связанные с графами и CL-пространствами с 1-безусловной базой", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 43 (1): 137–148, Дои:10.1112 / jlms / s2-43.1.137, МИСТЕР  1099093.
  7. ^ а б Мартини, H .; Swanepoel, K.J .; де Вет, П. Олофф (2009), «Поглощающие углы, минимальные деревья Штейнера и антиподальность», Журнал теории оптимизации и приложений, 143 (1): 149–157, arXiv:1108.5046, Дои:10.1007 / s10957-009-9552-1, МИСТЕР  2545946.
  8. ^ Ким, Джэгил (2014), «Произведение минимального объема вблизи многогранников Ханнера», Журнал функционального анализа, 266 (4): 2360–2402, arXiv:1212.2544, Дои:10.1016 / j.jfa.2013.08.008, МИСТЕР  3150164.
  9. ^ С.-Надь, Бела (1954), "Ein Satz über Parallelverschiebungen konvexer Körper", Acta Universitatis Szegediensis, 15: 169–177, МИСТЕР  0065942, заархивировано из оригинал на 2016-03-04, получено 2013-05-19.
  10. ^ Hansen, Allan B .; Лима, Освальд (1981), "Структура конечномерных банаховых пространств со свойством 3.2. Пересечения", Acta Mathematica, 146 (1–2): 1–23, Дои:10.1007 / BF02392457, МИСТЕР  0594626.