Теорема Капланских о проективных модулях - Kaplanskys theorem on projective modules - Wikipedia

В абстрактная алгебра, Теорема Капланского о проективных модулях, впервые доказано Ирвинг Каплански, заявляет, что проективный модуль через местное кольцо является свободный;^[1] где необязательно-коммутативное кольцо называется местный если для каждого элемента Икс, либо Икс или 1 - Икс является единичным элементом.^[2] Теорема также может быть сформулирована так, чтобы характеризовать локальное кольцо (# Характеристика местного кольца ).

Для конечного проективного модуля над коммутативным локальным кольцом теорема легко следует из Лемма Накаямы.^[3] В общем случае доказательство (как оригинальное, так и последующее) состоит из следующих двух шагов:

• Заметим, что проективный модуль над произвольным кольцом является прямой суммой счетно генерируемый проективные модули.
• Покажите, что счетно порожденный проективный модуль над локальным кольцом свободен («[воспоминанием] из доказательства леммы Накаямы»^[4]).

Идея доказательства теоремы позже была использована и Хайман Басс показывать большие проективные модули (при некоторых мягких условиях) бесплатны.^[5] В соответствии с (Андерсон и Фуллер 1992 ), Теорема Капланского «весьма вероятно послужила источником вдохновения для большей части результатов» в теории полусовершенные кольца.^[1]

Доказательство

Доказательство теоремы основано на двух леммах, каждая из которых касается декомпозиции модулей и представляет самостоятельный общий интерес.

Лемма 1. — ^[6] Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ обозначают семейство модулей, являющихся прямыми суммами некоторых счетно порожденных подмодулей (здесь могут быть модули над кольцом, группой или даже над набором эндоморфизмов). Если ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, то каждое из прямых слагаемых ${\displaystyle M}$ также в ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$.

Доказательство: Позволять N быть прямым слагаемым; т.е. ${\displaystyle M=N\oplus L}$. Используя предположение, запишем ${\displaystyle M=\bigoplus _{I\in I}M_{i}}$ где каждый ${\displaystyle M_{i}}$ является счетно порожденным подмодулем. Для каждого подмножества ${\displaystyle A\subset I}$, мы пишем ${\displaystyle M_{A}=\bigoplus _{i\in A}M_{i},N_{A}=}$ образ ${\displaystyle M_{A}}$ под проекцией ${\displaystyle M\to N\hookrightarrow M}$ и ${\displaystyle L_{A}}$ так же. Теперь рассмотрим множество всех троек (${\displaystyle J}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$) состоящий из подмножества ${\displaystyle J\subset I}$ и подмножества ${\displaystyle B,C\subset {\mathfrak {F}}}$ такой, что ${\displaystyle M_{J}=N_{J}\oplus L_{J}}$ и ${\displaystyle N_{J},L_{J}}$ прямые суммы модулей в ${\displaystyle B,C}$. Мы задаем этому множеству частичный порядок, так что ${\displaystyle (J,B,C)\leq (J',B',C')}$ если и только если ${\displaystyle J\subset J'}$, ${\displaystyle B\subset B',C\subset C'}$. К Лемма Цорна, в наборе есть максимальный элемент ${\displaystyle (J,B,C)}$. Мы покажем, что ${\displaystyle J=I}$; т.е. ${\displaystyle N=N_{J}=\bigoplus _{N'\in B}N'\in {\mathfrak {F}}}$. Предположим иначе. Тогда мы можем индуктивно построить последовательность не более чем счетных подмножеств ${\displaystyle I_{1}\subset I_{2}\subset \cdots \subset I}$ такой, что ${\displaystyle I_{1}\not \subset J}$ и для каждого целого числа ${\displaystyle n\geq 1}$,

${\displaystyle M_{I_{n}}\subset N_{I_{n}}+L_{I_{n}}\subset M_{I_{n+1}}}$.

Позволять ${\displaystyle I'=\bigcup _{0}^{\infty }I_{n}}$ и ${\displaystyle J'=J\cup I'}$. Мы заявляем:

${\displaystyle M_{J'}=N_{J'}\oplus L_{J'}.}$

Включение ${\displaystyle \subset }$ тривиально. Наоборот, ${\displaystyle N_{J'}}$ это изображение ${\displaystyle N_{J}+L_{J}+M_{I'}\subset N_{J}+M_{I'}}$ и так ${\displaystyle N_{J'}\subset M_{J'}}$. То же самое верно и для ${\displaystyle L_{J'}}$. Следовательно, претензия верна.

Сейчас же, ${\displaystyle N_{J}}$ является прямым слагаемым ${\displaystyle M}$ (поскольку это слагаемое ${\displaystyle M_{J}}$, который является слагаемым ${\displaystyle M}$); т.е. ${\displaystyle N_{J}\oplus M'=M}$ для некоторых ${\displaystyle M'}$. Тогда по модульному закону ${\displaystyle N_{J'}=N_{J}\oplus (M'\cap N_{J'})}$. Набор ${\displaystyle {\widetilde {N_{J}}}=M'\cap N_{J'}}$. Определять ${\displaystyle {\widetilde {L_{J}}}}$ таким же образом. Тогда, используя раннее требование, мы имеем:

${\displaystyle M_{J'}=M_{J}\oplus {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}},}$

откуда следует, что

${\displaystyle {\widetilde {N_{J}}}\oplus {\widetilde {L_{J}}}\simeq M_{J'}/M_{J}\simeq M_{J'-J}}$

генерируется счетно как ${\displaystyle J'-J\subset I'}$. Это противоречит максимальности ${\displaystyle (J,B,C)}$. ${\displaystyle \square }$

Лемма 2 — Если ${\displaystyle M_{i},i\in I}$ счетно порожденные модули с локальными кольцами эндоморфизмов и если ${\displaystyle N}$ - счетно порожденный модуль, являющийся прямым слагаемым ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$, тогда ${\displaystyle N}$ изоморфен ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I'}M_{i}}$ для некоторого не более чем счетного подмножества ${\displaystyle I'\subset I}$.

Доказательство:^[7] Позволять ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ обозначим семейство модулей, изоморфных модулям вида ${\displaystyle \bigoplus _{i\in F}M_{i}}$ для некоторого конечного подмножества ${\displaystyle F\subset I}$. Утверждение тогда следует из следующего утверждения:

• Учитывая элемент ${\displaystyle x\in N}$, существует ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ который содержит Икс и является прямым слагаемымN.

Действительно, предположим, что утверждение верно. Затем выберите последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ в N это генераторная установка. Затем, используя претензию, напишите ${\displaystyle N=H_{1}\oplus N_{1}}$ куда ${\displaystyle x_{1}\in H_{1}\in {\mathcal {G}}}$. Затем мы пишем ${\displaystyle x_{2}=y+z}$ куда ${\displaystyle y\in H_{1},z\in N_{1}}$. Затем мы разлагаем ${\displaystyle N_{1}=H_{2}\oplus N_{2}}$ с ${\displaystyle z\in H_{2}\in {\mathcal {G}}}$. Примечание ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\subset H_{1}\oplus H_{2}}$. Повторяя этот аргумент, в итоге имеем: ${\textstyle \{x_{1},x_{2},\dots \}\subset \bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$; т.е. ${\textstyle N=\bigoplus _{0}^{\infty }H_{n}}$. Следовательно, доказательство сводится к доказательству утверждения, и оно является прямым следствием Теорема Адзумая (аргументы см. в связанной статье). ${\displaystyle \square }$

Доказательство теоремы: Позволять ${\displaystyle N}$ - проективный модуль над локальным кольцом. Тогда по определению это прямое слагаемое некоторого свободного модуля ${\displaystyle F}$. Этот ${\displaystyle F}$ в семье ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ в лемме 1; таким образом, ${\displaystyle N}$ является прямой суммой счетно порожденных подмодулей, каждый из которых является прямым слагаемым F и таким образом проективный. Следовательно, без ограничения общности можно считать ${\displaystyle N}$ генерируется счетно. Тогда лемма 2 дает теорему. ${\displaystyle \square }$

Характеристика локального кольца

Теорема Капланского может быть сформулирована таким образом, чтобы дать характеристику локального кольца. Прямое слагаемое называется максимальный если у него есть неразложимое дополнение.

Теорема — ^[8] Позволять р несущий. Тогда следующие эквивалентны.

1. р это местное кольцо.
2. Каждый проективный модуль над р бесплатно и имеет неразложимое разложение ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ такое, что для каждого максимального прямого слагаемого L из M, есть разложение ${\displaystyle M={\Big (}\bigoplus _{j\in J}M_{j}{\Big )}\bigoplus L}$ для некоторого подмножества ${\displaystyle J\subset I}$.

Значение ${\displaystyle 1.\Rightarrow 2.}$ в точности (обычная) теорема Капланского и теорема Адзумая. Обратное ${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$ следует из интересующего себя следующего общего факта:

• Кольцо р местный ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ для каждого ненулевого собственного прямого слагаемого M из ${\displaystyle R^{2}=R\times R}$, либо ${\displaystyle R^{2}=(0\times R)\oplus M}$ или же ${\displaystyle R^{2}=(R\times 0)\oplus M}$.

${\displaystyle (\Rightarrow )}$ по теореме Адзумая, как и в доказательстве ${\displaystyle 1.\Rightarrow 2.}$. Наоборот, предположим ${\displaystyle R^{2}}$ имеет указанное выше свойство и что элемент Икс в р дано. Рассмотрим линейное отображение ${\displaystyle \sigma :R^{2}\to R,\,\sigma (a,b)=a-b}$. Набор ${\displaystyle y=x-1}$. потом ${\displaystyle \sigma (x,y)=1}$, то есть ${\displaystyle \eta :R\to R^{2},a\mapsto (ax,ay)}$ разделяется и изображение ${\displaystyle M}$ является прямым слагаемым ${\displaystyle R^{2}}$. Отсюда легко следует предположение, что либо Икс или же -у является единичным элементом. ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Категория Крулля – Шмидта

Примечания

1. Андерсон и Фуллер 1992, Следствие 26.7.
2. Андерсон и Фуллер 1992, Предложение 15.15.
3. Мацумура, Теорема 2.5. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)
4. Лам, Часть 1. § 1. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFLam (помощь)
5. Бас 1963 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBass1963 (помощь)
6. Андерсон и Фуллер 1992, Теорема 26.1.
7. Андерсон и Фуллер 1992, Доказательство теоремы 26.5.
8. Андерсон и Фуллер 1992, Упражнение 26.3.

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Тексты для выпускников по математике, 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, Дои:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN  0-387-97845-3, МИСТЕР  1245487
• Х. Басс: Большие проективные модули бесплатны, Illinois J. Math. 7 (1963), 24-31.
• Капланский, Ирвинг (1958), "Проективные модули", Анна. математики., 2, 68 (2): 372–377, Дои:10.2307/1970252, HDL:10338.dmlcz / 101124, JSTOR  1970252, МИСТЕР  0100017
• Ю. Лам, работы Басса по теории колец и проективных модулях [MR 1732042]
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец, Кембриджские исследования в области высшей математики (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36764-6