Кривая каппа - Kappa curve

Кривая каппа имеет два вертикальных асимптоты

В геометрия, то кривая каппа или же Кривая Гуцховена является двумерным алгебраическая кривая напоминающий Греческая буква ϰ (каппа). Кривая каппа была впервые изучена Жерар ван Гуцховен около 1662 года. В истории математики его помнят как один из первых примеров Исаак Барроу применение элементарных методов исчисления для определения касательная кривой. Исаак Ньютон и Иоганн Бернулли впоследствии продолжил изучение этой кривой.

С использованием Декартова система координат это может быть выражено как

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=a^{2}y^{2}}$

или, используя параметрические уравнения,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin t,\\y&=a\sin t\tan t.\end{aligned}}}$

В полярные координаты его уравнение еще проще:

${\displaystyle r=a\tan \theta .}$

Имеет два вертикальных асимптоты в Икс = ±а, показанные на рисунке справа пунктирными синими линиями.

Кривая каппа кривизна:

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta }{a\left(\sin ^{2}(2\theta )+4\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Тангенциальный угол:

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left({\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )\right).}$

Касательные через бесконечно малые

Касательные линии каппа-кривой также можно определить геометрически с помощью дифференциалы и элементарные правила бесконечно малый арифметика. Предполагать Икс и у - переменные, а a - константа. Из определения кривой каппа,

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}=0}$

Теперь бесконечно малое изменение в нашем местоположении должно также изменить значение левой части, поэтому

${\displaystyle d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}\right)=0}$

Распределение дифференциала и применение соответствующие правила,

${\displaystyle {\begin{aligned}d\left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)-d\left(a^{2}y^{2}\right)&=0\\[6px](2x\,dx)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,dx+2y\,dy)-a^{2}2y\,dy&=0\\[6px]\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)dx+\left(2yx^{2}-2a^{2}y\right)dy&=0\\[6px]x\left(2x^{2}+y^{2}\right)dx+y\left(x^{2}-a^{2}\right)dy&=0\\[6px]{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2}\right)}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

Производная

Если использовать современную концепцию функциональных отношений у(Икс) и применить неявное дифференцирование, наклон касательной к кривой каппа в точке (Икс,у) является:

${\displaystyle {\begin{aligned}2x\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\left(2x+2y{\frac {dy}{dx}}\right)&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y{\frac {dy}{dx}}-2x^{2}y{\frac {dy}{dx}}\\[6px]4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^{2}y-2x^{2}y\right){\frac {dy}{dx}}\\[6px]{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2}y-x^{2}y}}&={\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}$

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Каппа». MathWorld.
• Java-апплет для игры с кривой
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Кривая Каппа», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.