Лемма Келли - Kellys lemma - Wikipedia

В теория вероятности, Лемма Келли заявляет, что для стационарного цепь Маркова с непрерывным временем, процесс, определенный как обратный во времени процесс, имеет такое же стационарное распределение, как и процесс прямого времени.^[1] Теорема названа в честь Фрэнк Келли.^[2][3][4][5]

Заявление

Для цепи Маркова с непрерывным временем с пространством состояний S и матрица скорости перехода Q (с элементами q_ij), если мы сможем найти набор чисел q '_ij и π_я суммируя с 1, где^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j\neq i}\pi _{i}q'_{ij}&=\sum _{j\neq i}q_{ij}\quad \forall i\in S\\\pi _{i}q_{ij}&=\pi _{j}q_{ji}'\quad \forall i,j\in S\end{aligned}}}$

тогда q '_ij - ставки для обратного процесса и π_я - стационарное распределение для обоих процессов.

Доказательство

Учитывая предположения, сделанные на q_ij и π_я мы можем видеть

${\displaystyle \sum _{i\neq j}\pi _{i}q_{ij}=\sum _{i\neq j}\pi _{j}q'_{ji}=\pi _{j}\sum _{i\neq j}q_{ji}=-\pi _{j}q_{jj}}$

Итак уравнения глобального баланса удовлетворены и π_я являются стационарным распределением для обоих процессов.

Рекомендации

1. Бушери, Ричард Дж .; ван Дейк, Н. М. (2011). Сети массового обслуживания: фундаментальный подход. Springer. п. 222. ISBN  144196472X.
2. Келли, Фрэнк П. (1979). Обратимость и стохастические сети. Дж. Вили. п. 22. ISBN  0471276014.
3. Уолранд, Жан (1988). Введение в сети массового обслуживания. Прентис Холл. п. 63 (лемма 2.8.5). ISBN  013474487X.
4. Келли, Ф. (1976). «Сети очередей». Достижения в прикладной теории вероятностей. 8 (2): 416–432. Дои:10.2307/1425912. JSTOR  1425912.
5. Асмуссен, С. Р. (2003). «Марковские скачковые процессы». Прикладная вероятность и очереди. Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 51. С. 39–59. Дои:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN  978-0-387-00211-8.