В прикладной математике Функции Кельвина берν Икс ) и beiν Икс ) являются настоящий и мнимые части соответственно из
J ν ( Икс е 3 π я 4 ) , { displaystyle J _ { nu} left (xe ^ { frac {3 pi i} {4}} right), ,} куда Икс реально, и Jν (z )ν th порядок Функция Бесселя первого вида. Аналогично функции kerν (Икс ) и кейν (Икс ) - действительная и мнимая части соответственно
K ν ( Икс е π я 4 ) , { displaystyle K _ { nu} left (xe ^ { frac { pi i} {4}} right), ,} куда Kν (z )ν th порядок модифицированная функция Бесселя второго рода.
Эти функции названы в честь Уильям Томсон, первый барон Кельвин .
В то время как функции Кельвина определяются как действительная и мнимая части функций Бесселя с Икс считая действительными, функции могут быть аналитически продолжены для сложных аргументов xe iφ φ < 2π .п Икс ) и beiп Икс ) для интегральных п , функции Кельвина имеют точка разветвления в Икс = 0.
Ниже, Γ (z ) это гамма-функция и ψ (z )функция дигаммы .
бер (Икс ) бер (Икс ) за Икс от 0 до 20.
б е р ( Икс ) / е Икс / 2 { Displaystyle mathrm {ber} (х) / е ^ {х / { sqrt {2}}}} за
Икс от 0 до 50.
Для целых чисел п , берп Икс ) имеет разложение в ряд
б е р п ( Икс ) = ( Икс 2 ) п ∑ k ≥ 0 потому что [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( п + k + 1 ) ( Икс 2 4 ) k , { displaystyle mathrm {ber} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k},} куда Γ (z ) это гамма-функция . Особый случай ber0 (Икс ), обычно обозначаемый просто ber (Икс ), имеет разложение в ряд
б е р ( Икс ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k [ ( 2 k ) ! ] 2 ( Икс 2 ) 4 k { displaystyle mathrm {ber} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k)!] ^ {2}}} влево ({ frac {x} {2}} right) ^ {4k}} и асимптотический ряд
б е р ( Икс ) ∼ е Икс 2 2 π Икс ( ж 1 ( Икс ) потому что α + грамм 1 ( Икс ) грех α ) − k е я ( Икс ) π { displaystyle mathrm {ber} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}}} left (f_ { 1} (x) cos alpha + g_ {1} (x) sin alpha right) - { frac { mathrm {kei} (x)} { pi}}} куда
α = Икс 2 − π 8 , { displaystyle alpha = { frac {x} { sqrt {2}}} - { frac { pi} {8}},} ж 1 ( Икс ) = 1 + ∑ k ≥ 1 потому что ( k π / 4 ) k ! ( 8 Икс ) k ∏ л = 1 k ( 2 л − 1 ) 2 { displaystyle f_ {1} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}} грамм 1 ( Икс ) = ∑ k ≥ 1 грех ( k π / 4 ) k ! ( 8 Икс ) k ∏ л = 1 k ( 2 л − 1 ) 2 . { displaystyle g_ {1} (x) = sum _ {k geq 1} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ { l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.} bei (Икс ) bei (Икс ) за Икс от 0 до 20.
б е я ( Икс ) / е Икс / 2 { Displaystyle mathrm {bei} (х) / е ^ {х / { sqrt {2}}}} за
Икс от 0 до 50.
Для целых чисел п , beiп Икс ) имеет разложение в ряд
б е я п ( Икс ) = ( Икс 2 ) п ∑ k ≥ 0 грех [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( п + k + 1 ) ( Икс 2 4 ) k . { displaystyle mathrm {bei} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}.} Частный случай bei0 (Икс ), обычно обозначаемый как just bei (Икс ), имеет разложение в ряд
б е я ( Икс ) = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( Икс 2 ) 4 k + 2 { displaystyle mathrm {bei} (x) = sum _ {k geq 0} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k + 1)!] ^ {2}}} влево ({ frac {x} {2}} right) ^ {4k + 2}} и асимптотический ряд
б е я ( Икс ) ∼ е Икс 2 2 π Икс [ ж 1 ( Икс ) грех α − грамм 1 ( Икс ) потому что α ] − k е р ( Икс ) π , { displaystyle mathrm {bei} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}}} [f_ {1} (x) sin alpha -g_ {1} (x) cos alpha] - { frac { mathrm {ker} (x)} { pi}},} где α, ж 1 ( Икс ) { displaystyle f_ {1} (х)} грамм 1 ( Икс ) { displaystyle g_ {1} (х)} Икс ).
кер (Икс ) кер (Икс ) за Икс от 0 до 14.
k е р ( Икс ) е Икс / 2 { Displaystyle mathrm {ker} (х) е ^ {х / { sqrt {2}}}} за
Икс от 0 до 50.
Для целых чисел п , керп Икс ) имеет разложение в (сложный) ряд
k е р п ( Икс ) = − пер ( Икс 2 ) б е р п ( Икс ) + π 4 б е я п ( Икс ) + 1 2 ( Икс 2 ) − п ∑ k = 0 п − 1 потому что [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] ( п − k − 1 ) ! k ! ( Икс 2 4 ) k + 1 2 ( Икс 2 ) п ∑ k ≥ 0 потому что [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( п + k + 1 ) k ! ( п + k ) ! ( Икс 2 4 ) k . { displaystyle { begin {align} & mathrm {ker} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}} mathrm {bei} _ {n} (x) & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}} Частный случай ker0 (Икс ), обычно обозначаемый просто ker (Икс ), имеет разложение в ряд
k е р ( Икс ) = − пер ( Икс 2 ) б е р ( Икс ) + π 4 б е я ( Икс ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 1 ) [ ( 2 k ) ! ] 2 ( Икс 2 4 ) 2 k { displaystyle mathrm {ker} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} (x) + { frac { pi} {4} } mathrm {bei} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!] ^ {2} }} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k}} и асимптотический ряд
k е р ( Икс ) ∼ π 2 Икс е − Икс 2 [ ж 2 ( Икс ) потому что β + грамм 2 ( Икс ) грех β ] , { displaystyle mathrm {ker} (x) sim { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}} [f_ { 2} (x) cos beta + g_ {2} (x) sin beta],} куда
β = Икс 2 + π 8 , { displaystyle beta = { frac {x} { sqrt {2}}} + { frac { pi} {8}},} ж 2 ( Икс ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k потому что ( k π / 4 ) k ! ( 8 Икс ) k ∏ л = 1 k ( 2 л − 1 ) 2 { displaystyle f_ {2} (x) = 1 + sum _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}} грамм 2 ( Икс ) = ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k грех ( k π / 4 ) k ! ( 8 Икс ) k ∏ л = 1 k ( 2 л − 1 ) 2 . { displaystyle g_ {2} (x) = sum _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ { k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}
кей (Икс ) кей (Икс ) за Икс от 0 до 14.
k е я ( Икс ) е Икс / 2 { Displaystyle mathrm {kei} (х) е ^ {х / { sqrt {2}}}} за
Икс от 0 до 50.
Для целого числа п , кейп Икс ) имеет разложение в ряд
k е я п ( Икс ) = − пер ( Икс 2 ) б е я п ( Икс ) − π 4 б е р п ( Икс ) − 1 2 ( Икс 2 ) − п ∑ k = 0 п − 1 грех [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] ( п − k − 1 ) ! k ! ( Икс 2 4 ) k + 1 2 ( Икс 2 ) п ∑ k ≥ 0 грех [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( п + k + 1 ) k ! ( п + k ) ! ( Икс 2 4 ) k . { Displaystyle { begin {align} & mathrm {kei} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} _ {n } (x) - { frac { pi} {4}} mathrm {ber} _ {n} (x) & - { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}} Особый случай кей0 (Икс ), обычно обозначаемый как просто kei (Икс ), имеет разложение в ряд
k е я ( Икс ) = − пер ( Икс 2 ) б е я ( Икс ) − π 4 б е р ( Икс ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 2 ) [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( Икс 2 4 ) 2 k + 1 { displaystyle mathrm {kei} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} (x) - { frac { pi} {4} } mathrm {ber} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 2)} {[(2k + 1)!] ^ { 2}}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k + 1}} и асимптотический ряд
k е я ( Икс ) ∼ − π 2 Икс е − Икс 2 [ ж 2 ( Икс ) грех β + грамм 2 ( Икс ) потому что β ] , { displaystyle mathrm {kei} (x) sim - { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}} [f_ {2} (x) sin beta + g_ {2} (x) cos beta],} куда β , ж 2 (Икс ), и грамм 2 (Икс ) определяются так же, как для ker (Икс ).
Смотрите также Рекомендации Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 379. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МИСТЕР 0167642 . LCCN 65-12253 .Olver, F. W. J .; Максимон, Л. К. (2010), «Функции Бесселя» , в Олвер, Фрэнк В. Дж. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МИСТЕР 2723248 внешняя ссылка Вайсштейн, Эрик В. «Функции Кельвина». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1] Исходный код C / C ++ под лицензией GPL для вычисления функций Кельвина на codecogs.com: [2] 
![{ displaystyle mathrm {ber} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0cd93458b54421e6ad2cc1a1d7642427b33221)
![mathrm {ber} (x) = 1 + sum_ {k geq 1} frac {(- 1) ^ k} {[(2k)!] ^ 2} left ( frac {x} {2} right) ^ {4k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0382d07ebb15b81d9f6d57b4a4c39d727bd7dd)
![{ displaystyle mathrm {bei} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08343a9ce9fef41ac36a7add2de1ef813cc3ec3)
![mathrm {bei} (x) = sum_ {k geq 0} frac {(- 1) ^ k} {[(2k + 1)!] ^ 2} left ( frac {x} {2} right) ^ {4k + 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69dab8cb68e3d5e5a8dccfdf3f6c798775a0490)
![mathrm {bei} (x) sim frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}} [f_1 (x) sin alpha - g_1 (x) cos alpha] - frac { mathrm {ker} (x)} { pi},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ac7c7ceb46b3e4f8fe6307064ff05eeb980e04)
![{ displaystyle { begin {align} & mathrm {ker} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}} mathrm {bei} _ {n} (x) & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861946c574b893b798807b4d330a08838a82c03)
![mathrm {ker} (x) = - ln left ( frac {x} {2} right) mathrm {ber} (x) + frac { pi} {4} mathrm {bei} ( x) + sum_ {k geq 0} (-1) ^ k frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!] ^ 2} left ( frac {x ^ 2} {4 } right) ^ {2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620fcd5ca5f6cba6b4ba993439a8e6878b3505c)
![mathrm {ker} (x) sim sqrt { frac { pi} {2x}} e ^ {- frac {x} { sqrt {2}}} [f_2 (x) cos beta + g_2 (x) sin beta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6156e93597225fc773d61fff4b8c7b9b2ddc16f2)
![{ Displaystyle { begin {align} & mathrm {kei} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} _ {n } (x) - { frac { pi} {4}} mathrm {ber} _ {n} (x) & - { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} right) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a3a0932238e7433d48965287b3ab97f0f245)
![mathrm {kei} (x) = - ln left ( frac {x} {2} right) mathrm {bei} (x) - frac { pi} {4} mathrm {ber} ( x) + sum_ {k geq 0} (-1) ^ k frac { psi (2k + 2)} {[(2k + 1)!] ^ 2} left ( frac {x ^ 2} {4} right) ^ {2k + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84894452aa4ac878be50e50a42b2a91bd3bce86)
![mathrm {kei} (x) sim - sqrt { frac { pi} {2x}} e ^ {- frac {x} { sqrt {2}}} [f_2 (x) sin beta + g_2 (x) cos beta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3fd63059e08690345a00b76f7425ba1bcc768)