Уравнения Кирхгофа - Kirchhoff equations

В динамика жидкостей, то Уравнения Кирхгофа, названный в честь Густав Кирхгоф, описать движение жесткое тело в идеальная жидкость.

${displaystyle {egin{aligned}{d over {dt}}{{partial T} over {partial {vec {omega }}}}&={{partial T} over {partial {vec {omega }}}} imes {vec {omega }}+{{partial T} over {partial {vec {v}}}} imes {vec {v}}+{vec {Q}}_{h}+{vec {Q}},[10pt]{d over {dt}}{{partial T} over {partial {vec {v}}}}&={{partial T} over {partial {vec {v}}}} imes {vec {omega }}+{vec {F}}_{h}+{vec {F}},[10pt]T&={1 over 2}left({vec {omega }}^{T}{ ilde {I}}{vec {omega }}+mv^{2}ight)[10pt]{vec {Q}}_{h}&=-int p{vec {x}} imes {hat {n}},dsigma ,[10pt]{vec {F}}_{h}&=-int p{hat {n}},dsigma end{aligned}}}$

куда ${displaystyle {vec {omega }}}$ и ${displaystyle {vec {v}}}$ - векторы угловой и линейной скорости в точке ${displaystyle {vec {x}}}$, соответственно; ${displaystyle { ilde {I}}}$ - тензор момента инерции, ${displaystyle m}$ масса тела; ${displaystyle {hat {n}}}$ - единица, нормальная к поверхности тела в точке ${displaystyle {vec {x}}}$;${displaystyle p}$ давление в этой точке; ${displaystyle {vec {Q}}_{h}}$ и ${displaystyle {vec {F}}_{h}}$ - гидродинамический момент и сила, действующая на тело соответственно;${displaystyle {vec {Q}}}$ и ${displaystyle {vec {F}}}$ аналогично обозначьте все остальные моменты и силы, действующие на тело. Интеграция выполняется по участку поверхности тела, подверженному воздействию жидкости.

Если тело является полностью погруженным телом в бесконечно большой объем безвихревой несжимаемой невязкой жидкости, то есть покоящейся на бесконечности, то векторы ${displaystyle {vec {Q}}_{h}}$ и ${displaystyle {vec {F}}_{h}}$ можно найти с помощью явного интегрирования, а динамика тела описывается Кирхгоф – Клебш уравнения:

${displaystyle {d over {dt}}{{partial L} over {partial {vec {omega }}}}={{partial L} over {partial {vec {omega }}}} imes {vec {omega }}+{{partial L} over {partial {vec {v}}}} imes {vec {v}},quad {d over {dt}}{{partial L} over {partial {vec {v}}}}={{partial L} over {partial {vec {v}}}} imes {vec {omega }},}$

${displaystyle L({vec {omega }},{vec {v}})={1 over 2}(A{vec {omega }},{vec {omega }})+(B{vec {omega }},{vec {v}})+{1 over 2}(C{vec {v}},{vec {v}})+({vec {k}},{vec {omega }})+({vec {l}},{vec {v}}).}$

Их первые интегралы читаются

${displaystyle J_{0}=left({{partial L} over {partial {vec {omega }}}},{vec {omega }}ight)+left({{partial L} over {partial {vec {v}}}},{vec {v}}ight)-L,quad J_{1}=left({{partial L} over {partial {vec {omega }}}},{{partial L} over {partial {vec {v}}}}ight),quad J_{2}=left({{partial L} over {partial {vec {v}}}},{{partial L} over {partial {vec {v}}}}ight)}$.

Дальнейшее интегрирование дает явные выражения для положения и скоростей.

Рекомендации

• Кирхгоф Г. Р. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Лекция 19. Лейпциг: Тойбнер. 1877 г.
• Лэмб, Х., Гидродинамика. Шестое издание Кембриджа (Великобритания): Издательство Кембриджского университета. 1932 г.