Трехмерная кубика Кораса – Рассела - Koras–Russell cubic threefold

В алгебраическая геометрия, то Трехмерные кубы Кораса – Рассела гладкие аффинные сложные тройной диффеоморфен ${displaystyle mathbf {C} ^{3}}$изучен Корас и Рассел (1997). Они обладают гиперболическим действием одномерного тор ${displaystyle mathbf {C} ^{*}}$с единственной неподвижной точкой, так что частные трехмерного и касательное пространство неподвижной точки этим действием изоморфны. Они были обнаружены в процессе доказательства гипотезы линеаризации в размерности 3. Линейное действие ${displaystyle mathbf {C} ^{*}}$ на аффинном пространстве ${displaystyle mathbf {A} ^{n}}$ это одна из форм ${displaystyle t*(x_{1},ldots ,x_{n})=(t^{a_{1}}x_{1},t^{a_{2}}x_{2},ldots ,t^{a_{n}}x_{n})}$, куда ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}in mathbf {Z} }$ и ${displaystyle tin mathbf {C} ^{*}}$. Гипотеза о линеаризации в размерности ${displaystyle n}$ говорит, что каждое алгебраическое действие ${displaystyle mathbf {C} ^{*}}$ на сложном аффинном пространстве ${displaystyle mathbf {A} ^{n}}$ линейна в некоторых алгебраических координатах на ${displaystyle mathbf {A} ^{n}}$. М. Корас и П. Рассел сделали ключевой шаг к решению в измерении 3, предоставив список трехмерных многообразий (теперь называемых трехмерными многообразиями Кораса-Рассела) и доказав ^[1] что гипотеза линеаризации для n = 3 верна, если все эти трехмерные многообразия являются экзотическими аффинными 3-пространствами, то есть ни одно из них не изоморфно ${displaystyle mathbf {A} ^{3}}$. Позже это было показано Калиманом и Макар-Лимановым с помощью ML-инвариант из аффинное разнообразие, который, собственно, и был изобретен именно для этой цели.

Ранее, чем упомянутая выше статья, Рассел заметил, что гиперповерхность ${displaystyle R={x+x^{2}y+z^{2}+t^{3}=0}}$ обладает свойствами, очень похожими на стягиваемость аффинного 3-пространства, и его интересовало различение их как алгебраические многообразия. Теперь это следует из вычисления, что ${displaystyle ML(R)=mathbf {C} [x]}$ и ${displaystyle ML(mathbf {A} ^{3})=mathbf {C} }$.

Рекомендации

• Корас, М .; Рассел, Питер (1997), «Сжимаемые трехмерности и C^*-действия на C³", Журнал алгебраической геометрии, 6 (4): 671–695, ISSN  1056-3911, МИСТЕР  1487230, Zbl  0882.14013

1. Корас, Мариуш; Рассел, Питер (1999). "C^∗-действия на C³: гладкое геометрическое место частного не гиперболического типа ». J. Алгебраическая геометрия. 8 (4): 603–694.