Мера Ковнера – Безиковича - Kovner–Besicovitch measure

Наибольшее центрально-симметричное подмножество (центральная заштрихованная область) Треугольник Рело и его отражение поперек центра симметрии подмножества

В плоская геометрия в Мера Ковнера – Безиковича - число, определенное для любого ограниченного выпуклый набор описывая, как близко к тому, чтобы быть центрально-симметричный Это. Это часть площади множества, которая может быть покрыта его наибольшим центрально-симметричным подмножеством.^[1]

Характеристики

Эта мера - единица для центрально-симметричного множества и меньше единицы для множеств, замыкание которых не является центрально-симметричным. Он инвариантен относительно аффинные преобразования самолета. Если ${\displaystyle c}$ является центром симметрии наибольшего центрально-симметричного множества внутри данного выпуклого тела ${\displaystyle K}$, то само центрально-симметричное множество является пересечением ${\displaystyle K}$ с его отражением через ${\displaystyle c}$.^[1]

Минимайзеры

Выпуклые множества с наименьшей возможной мерой Ковнера – Безиковича - это треугольники, для которых мера равна 2/3. Результат, что треугольники являются минимизаторами этой меры, известен как Теорема Ковнера или Теорема Ковнера – Безиковича., а неравенство, ограничивающее меру выше 2/3 для всех выпуклых множеств, есть Неравенство Ковнера – Безиковича..^[2] В кривая постоянной ширины с наименьшей мерой Ковнера – Безиковича является Треугольник Рело.^[3]

Вычислительная сложность

Мера Ковнера – Безиковича любого выпуклого многоугольника с ${\displaystyle n}$ вершины можно найти во времени ${\displaystyle O(n\log n)}$ путем определения смещения отражения многоугольника, который имеет максимально возможное перекрытие с неотраженным многоугольником.^[4]

История

Бранко Грюнбаум пишет, что теорема Ковнера – Безиковича была впервые опубликована на русском языке в учебнике 1935 г. вариационное исчисление к Михаил Лаврентьев и Лазарь Люстерник, где она была приписана советскому математику и геофизику С. С. Ковнер [RU ]. Дополнительные доказательства были даны Абрам Самойлович Безикович и по Иштван Фари, который также доказал, что каждый минимизатор меры Ковнера – Безиковича является треугольником.^[1]

Смотрите также

• Мера Эстермана, мера центральной симметрии, определяемая с помощью надмножеств вместо подмножеств

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко (1963), «Меры симметрии для выпуклых множеств», в Клее, Виктор Л. (ред.), Выпуклость, Труды симпозиумов по чистой математике, 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 233–270, МИСТЕР  0156259
2. Макеев В. В. (2007) "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт-Петербургский математический журнал, 19 (2): 131–155, Дои:10.1090 / S1061-0022-08-00998-9, МИСТЕР  2333901
3. Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF), Математические константы, Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр.513–514, ISBN  978-0-521-81805-6.
4. де Берг, М.; Чеонг, О.; Devillers, O .; ван Кревельд, М.; Тейо, М. (1998), "Вычисление максимального перекрытия двух выпуклых многоугольников при перемещениях", Теория вычислительных систем, 31 (5): 613–628, Дои:10.1007 / PL00005845, МИСТЕР  1640323

внешняя ссылка

• Мера центральной симметрии, Таня Хованова Математический блог, 2 сентября 2012 г.