Формула предела Кронекера - Kronecker limit formula

В математике классическая Формула предела Кронекера описывает постоянный член при s = 1 из вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна (или же Дзета-функция Эпштейна ) с точки зрения Функция Дедекинда эта. Есть много его обобщений на более сложные ряды Эйзенштейна. Он назван в честь Леопольд Кронекер.

Формула первого предела Кронекера

(Первая) предельная формула Кронекера утверждает, что

${displaystyle E( au ,s)={pi over s-1}+2pi (gamma -log(2)-log({sqrt {y}}|eta ( au )|^{2}))+O(s-1),}$

куда

• E(τ,s) - вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна, задаваемый формулой

${displaystyle E( au ,s)=sum _{(m,n)eq (0,0)}{y^{s} over |m au +n|^{2s}}}$

для Re (s)> 1, и аналитическим продолжением для других значений комплексного числа s.

• γ - это Константа Эйлера – Маскерони
• τ = Икс + иу с у > 0.
• ${displaystyle eta ( au )=q^{1/24}prod _{ngeq 1}(1-q^{n})}$, с q = e^{2π i τ} это Функция Дедекинда эта.

Итак, у серии Эйзенштейна полюс s = 1 вычета π, и (первая) формула предела Кронекера дает постоянный член Серия Laurent на этом полюсе.

Вторая формула предела Кронекера

Вторая формула предела Кронекера утверждает, что

${displaystyle E_{u,v}( au ,1)=-2pi log |f(u-v au ; au )q^{v^{2}/2}|,}$

куда

• ты и v являются действительными, а не целыми.
• q = e^{2π i τ} и q^а = e^{2π я аτ}
• п = e^{2π я z} и п^а = e^{2π я az}
• ${displaystyle E_{u,v}( au ,s)=sum _{(m,n)eq (0,0)}e^{2pi i(mu+nv)}{y^{s} over |m au +n|^{2s}}}$

для Re (s)> 1, и определяется аналитическим продолжением для других значений комплексного числа s.

• ${displaystyle f(z, au )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})prod _{ngeq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p).}$

Смотрите также

• Функция Герглотца – Загьера

Рекомендации

• Серж Ланг, Эллиптические функции, ISBN  0-387-96508-4
• К. Л. Сигель, Лекции по продвинутой аналитической теории чисел, Институт Тата 1961 г.

внешняя ссылка

• Chapter0.pdf^{[мертвая ссылка ]}