Теорема Куммерса - Kummers theorem - Wikipedia

В математика, Теорема Куммера формула для показателя степени наибольшей степени простое число п который делит данный биномиальный коэффициент. Другими словами, это дает п-адическая оценка из биномиальный коэффициент. Теорема названа в честь Эрнст Куммер, который доказал это в следующей статье: (Куммер 1852 г. ).

Заявление

Теорема Куммера утверждает, что для данного целые числа п ≥ м ≥ 0 и простое число п, то п-адическая оценка ${\displaystyle \nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)}$ равно количеству несет когда м добавлен к п − м в основание  п.

Это можно доказать, написав ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ в качестве ${\displaystyle {\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}}$ и используя Формула Лежандра.^[1]

Примеры

Чтобы вычислить наибольшую степень двойки деления биномиального коэффициента ${\displaystyle {\binom {10}{3}}}$ записывать м = 3 и п − м = 7 в базе п = 2 в качестве 3 = 11₂ и 7 = 111₂. Проведение сложения 11₂ + 111₂ = 1010₂ в базе 2 требуется три керри. И самая большая степень двойки, которая делит ${\displaystyle {\binom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$ является 2³.

Обобщение полиномиальных коэффициентов

Теорема Куммера может быть обобщена на полиномиальные коэффициенты ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$ следующее:

Напишите базу-${\displaystyle p}$ расширение целого числа ${\displaystyle n}$ в качестве ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$, и определим ${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ быть суммой базового${\displaystyle p}$ цифры. потом

${\displaystyle \nu _{p}\left({\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right).}$

Смотрите также

• Теорема Лукаса

Рекомендации

1. Михет, Дорел (декабрь 2010 г.). "Снова теоремы Лежандра и Куммера". Резонанс. 15 (12): 1111–1121.

• Куммер, Эрнст (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1852 (44): 93–146. Дои:10.1515 / crll.1852.44.93.
• Теорема Куммера в PlanetMath.