Куратовский вложение - Kuratowski embedding

В математика, то Куратовский вложение позволяет просматривать любые метрическое пространство как подмножество некоторых Банахово пространство. Он назван в честь Казимеж Куратовски.

В частности, если (Икс,d) - метрическое пространство, Икс₀ это точка в Икс, и C_б(Икс) обозначает банахово пространство всех ограниченных непрерывный действительные функции на Икс с верхняя норма, то карта

${\displaystyle \Phi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

определяется

${\displaystyle \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X}$

является изометрия.^[1]

Обратите внимание, что это вложение зависит от выбранной точки Икс₀ и поэтому не совсем каноничен.

В Куратовски – Войдыславский Теорема утверждает, что каждое ограниченное метрическое пространство Икс изометрично закрытое подмножество из выпуклый подмножество некоторого банахова пространства.^[2] (N.B. образ этого вложения замкнут в выпуклом подмножестве, не обязательно в банаховом пространстве.) Здесь мы используем изометрию

${\displaystyle \Psi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

определяется

${\displaystyle \Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in X}$

Упомянутое выше выпуклое множество - это выпуклый корпус из Ψ (Икс).

В обеих теоремах вложения мы можем заменить C_б(Икс) банаховым пространством ℓ ^∞(Икс) всех ограниченных функций Икс → р, снова с нормой супремума, так как C_б(Икс) - замкнутое линейное подпространство в ℓ ^∞(Икс).

Эти результаты вложения полезны, потому что банаховы пространства обладают рядом полезных свойств, не общих для всех метрических пространств: они векторные пространства который позволяет добавлять точки и выполнять элементарную геометрию с использованием линий и плоскостей и т. д .; и они являются полный. Учитывая функцию с codomain Икс, часто желательно расширить эту функцию на более крупную область, и это часто требует одновременного увеличения кодомена до банахова пространства, содержащего Икс.

История

Формально это вложение было впервые введено Куратовски,^[3]но очень близкая вариация этого вложения появляется уже в работе Фреше^[4] где он впервые вводит понятие метрического пространства.

Смотрите также

• Узкий промежуток, вложение любого метрического пространства в инъективное метрическое пространство определяется аналогично вложению Куратовского

Рекомендации

1. Юха Хейнонен (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств, получено 6 января 2009
2. Кароль Борсук (1967), Теория ретрактов, Варшава. Теорема III.8.1.
3. Куратовски, К. (1935) «Вопросы, касающиеся неразрывных метрических пространств» (Некоторые проблемы, касающиеся неразделимых метрических пространств), Fundamenta Mathematicae 25: стр. 534–545.
4. Фреше М. (1906) "Sur quelques points du calc fonctionnel", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22: 1–74.