Число Лагранжа - Lagrange number

В математика, то Числа Лагранжа представляют собой последовательность чисел, входящих в границы, относящиеся к приближению иррациональные числа к рациональное число. Они связаны с Теорема Гурвица.

Определение

Гурвиц улучшился Питер Густав Лежен Дирихле критерий иррациональности утверждения о том, что действительное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел п/q, записанные в наименьших терминах, так что

${displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}}ight|<{frac {1}{{sqrt {5}}q^{2}}}.}$

Это было улучшение результата Дирихле, в котором 1 /q² с правой стороны. Приведенный выше результат является наилучшим, поскольку Золотое сечение φ иррационально, но если мы заменим √5 на любое большее число в приведенном выше выражении, то мы сможем найти только конечное число рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.

Однако Гурвиц также показал, что если мы опускаем число φ и производные от него числа, то мы может увеличить число √5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2√2. Опять же, эта новая граница лучше всего возможна в новой настройке, но на этот раз число √2 это проблема. Если мы не позволим √2 то мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2√2 к √221/ 5. Повторяя этот процесс, мы получаем бесконечную последовательность чисел √5, 2√2, √221/ 5, ... которые сходятся к 3.^[1] Эти числа называются Числа Лагранжа,^[2] и названы в честь Жозеф Луи Лагранж.

Связь с числами Маркова

В пth число Лагранжа L_п дан кем-то

${displaystyle L_{n}={sqrt {9-{frac {4}{{m_{n}}^{2}}}}}}$

куда м_п это пth Число Маркова,^[3] это п-е наименьшее целое число м такое, что уравнение

${displaystyle m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy,}$

имеет решение в натуральных числах Икс и у.

Рекомендации

1. Касселс (1957) стр.14
2. Конвей и Гай (1996), стр 187-189
3. Касселс (1957) стр.41

• Касселс, J.W.S. (1957). Введение в диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45. Издательство Кембриджского университета. Zbl  0077.04801.
• Конвей, Дж.; Гай, Р.К. (1996). Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97993-X.

внешняя ссылка

• Число Лагранжа. Из MathWorld в Wolfram Research.
• Введение в диофантовы методы иррациональности и трансцендентности - Онлайн-записи лекций Мишель Вальдшмидт, Числа Лагранжа на стр. 24–26.