Параметры Ламе - Lamé parameters

В механика сплошной среды, то Параметры Ламе (также называемый Коэффициенты Ламе, Константы Ламе или же Модули Ламе) - две зависящие от материала величины, обозначаемые λ и μ, возникающие в напряжение -стресс отношения.^[1] В целом, λ и μ индивидуально именуются Первый параметр Ламе и Второй параметр Ламе, соответственно. Другие имена иногда используются для одного или обоих параметров, в зависимости от контекста. Например, параметр μ упоминается в динамика жидкостей как динамическая вязкость жидкости (не те же единицы); тогда как в контексте эластичность, μ называется модуль сдвига,^{[2]:стр.333} и иногда обозначается грамм вместо μ. Обычно обозначение G рассматривается в паре с использованием Модуль для младших E, а обозначения μ сочетается с использованием λ.

В однородных и изотропный материалы, они определяют Закон Гука в 3D,

${displaystyle {oldsymbol {sigma }}=2mu {oldsymbol {varepsilon }}+lambda ;mathrm {tr} ({oldsymbol {varepsilon }})I,}$

куда σ это стресс, ε то тензор деформации, я то единичная матрица и tr то след функция. Закон Гука можно записать в терминах компонент тензора, используя индексную нотацию как

${displaystyle sigma _{ij}=2mu E_{ij}+lambda delta _{ij}E_{kk},}$

куда σ_ij - тензор напряжений, E_ij тензор деформации, и δ_ij то Дельта Кронекера.

Эти два параметра вместе составляют параметризацию модулей упругости для однородных изотропных сред, популярных в математической литературе, и, таким образом, связаны с другими параметрами. модули упругости; например, объемный модуль можно выразить как K = λ + 2/3μ. Соотношения для других модулей находятся в (λ, грамм) в таблице преобразований в конце статьи.

Хотя модуль сдвига, μ, должен быть положительным, первый параметр Ламе, λ, в принципе может быть отрицательным; однако для большинства материалов это тоже положительно.

Параметры названы в честь Габриэль Ламе. У них то же самое измерение как напряжение и обычно указываются в единицах давления [Па].

дальнейшее чтение

• К. Фэн, З.-К. Ши, Математическая теория упругих конструкций, Springer Нью-Йорк, ISBN  0-387-51326-4, (1981)
• Г. Мавко, Т. Мукерджи, Я. Дворкин, Справочник по физике горных пород, Cambridge University Press (мягкая обложка), ISBN  0-521-54344-4, (2003)
• W.S. Убой Линеаризованная теория упругости, Биркхойзер, ISBN  0-8176-4117-3, (2002)

Рекомендации

1. "Константы Ламе". Вайсштейн, Эрик. Мир науки Эрика Вайсштейна, веб-ресурс Wolfram. Проверено 22 февраля 2015.
2. Жан Саленкон (2001), «Справочник по механике сплошной среды: общие понятия, термоупругость». Springer Science & Business Media ISBN  3-540-41443-6

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам.
	${displaystyle K=,}$	${displaystyle E=,}$	${displaystyle lambda =,}$	${displaystyle G=,}$	${displaystyle u =,}$	${displaystyle M=,}$	Примечания
${displaystyle (K,,E)}$			${displaystyle { frac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${displaystyle { frac {3KE}{9K-E}}}$	${displaystyle { frac {3K-E}{6K}}}$	${displaystyle { frac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${displaystyle (K,,lambda )}$		${displaystyle { frac {9K(K-lambda )}{3K-lambda }}}$		${displaystyle { frac {3(K-lambda )}{2}}}$	${displaystyle { frac {lambda }{3K-lambda }}}$	${displaystyle 3K-2lambda ,}$
${displaystyle (K,,G)}$		${displaystyle { frac {9KG}{3K+G}}}$	${displaystyle K-{ frac {2G}{3}}}$		${displaystyle { frac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${displaystyle K+{ frac {4G}{3}}}$
${displaystyle (K,,u )}$		${displaystyle 3K(1-2u ),}$	${displaystyle { frac {3Ku }{1+u }}}$	${displaystyle { frac {3K(1-2u )}{2(1+u )}}}$		${displaystyle { frac {3K(1-u )}{1+u }}}$
${displaystyle (K,,M)}$		${displaystyle { frac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${displaystyle { frac {3K-M}{2}}}$	${displaystyle { frac {3(M-K)}{4}}}$	${displaystyle { frac {3K-M}{3K+M}}}$
${displaystyle (E,,lambda )}$	${displaystyle { frac {E+3lambda +R}{6}}}$			${displaystyle { frac {E-3lambda +R}{4}}}$	${displaystyle { frac {2lambda }{E+lambda +R}}}$	${displaystyle { frac {E-lambda +R}{2}}}$	${displaystyle R={sqrt {E^{2}+9lambda ^{2}+2Elambda }}}$
${displaystyle (E,,G)}$	${displaystyle { frac {EG}{3(3G-E)}}}$		${displaystyle { frac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${displaystyle { frac {E}{2G}}-1}$	${displaystyle { frac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${displaystyle (E,,u )}$	${displaystyle { frac {E}{3(1-2u )}}}$		${displaystyle { frac {Eu }{(1+u )(1-2u )}}}$	${displaystyle { frac {E}{2(1+u )}}}$		${displaystyle { frac {E(1-u )}{(1+u )(1-2u )}}}$
${displaystyle (E,,M)}$	${displaystyle { frac {3M-E+S}{6}}}$		${displaystyle { frac {M-E+S}{4}}}$	${displaystyle { frac {3M+E-S}{8}}}$	${displaystyle { frac {E-M+S}{4M}}}$		${displaystyle S=pm {sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Есть два верных решения. Знак плюс ведет к ${displaystyle u geq 0}$. Знак минус ведет к ${displaystyle u leq 0}$.
${displaystyle (lambda ,,G)}$	${displaystyle lambda +{ frac {2G}{3}}}$	${displaystyle { frac {G(3lambda +2G)}{lambda +G}}}$			${displaystyle { frac {lambda }{2(lambda +G)}}}$	${displaystyle lambda +2G,}$
${displaystyle (lambda ,,u )}$	${displaystyle { frac {lambda (1+u )}{3u }}}$	${displaystyle { frac {lambda (1+u )(1-2u )}{u }}}$		${displaystyle { frac {lambda (1-2u )}{2u }}}$		${displaystyle { frac {lambda (1-u )}{u }}}$	Не может использоваться, когда ${displaystyle u =0Leftrightarrow lambda =0}$
${displaystyle (lambda ,,M)}$	${displaystyle { frac {M+2lambda }{3}}}$	${displaystyle { frac {(M-lambda )(M+2lambda )}{M+lambda }}}$		${displaystyle { frac {M-lambda }{2}}}$	${displaystyle { frac {lambda }{M+lambda }}}$
${displaystyle (G,,u )}$	${displaystyle { frac {2G(1+u )}{3(1-2u )}}}$	${displaystyle 2G(1+u ),}$	${displaystyle { frac {2Gu }{1-2u }}}$			${displaystyle { frac {2G(1-u )}{1-2u }}}$
${displaystyle (G,,M)}$	${displaystyle M-{ frac {4G}{3}}}$	${displaystyle { frac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${displaystyle M-2G,}$		${displaystyle { frac {M-2G}{2M-2G}}}$
${displaystyle (u ,,M)}$	${displaystyle { frac {M(1+u )}{3(1-u )}}}$	${displaystyle { frac {M(1+u )(1-2u )}{1-u }}}$	${displaystyle { frac {Mu }{1-u }}}$	${displaystyle { frac {M(1-2u )}{2(1-u )}}}$