Преобразование Ландена отображение параметров эллиптический интеграл , полезно для эффективного численного вычисления эллиптических функций. Первоначально это было связано с Джон Ланден и независимо заново открыты Карл Фридрих Гаусс .[1]
Заявление В неполный эллиптический интеграл первого рода F является
F ( φ ∖ α ) = F ( φ , грех α ) = ∫ 0 φ d θ 1 − ( грех θ грех α ) 2 , { Displaystyle F ( varphi setminus alpha) = F ( varphi, sin alpha) = int _ {0} ^ { varphi} { frac {d theta} { sqrt {1- ( sin theta sin alpha) ^ {2}}}},} куда α { displaystyle alpha} α 0 { displaystyle alpha _ {0}} α 1 { displaystyle alpha _ {1}} φ 0 { displaystyle varphi _ {0}} φ 1 { displaystyle varphi _ {1}} ( 1 + грех α 1 ) ( 1 + потому что α 0 ) = 2 { Displaystyle (1+ грех альфа _ {1}) (1+ соз альфа _ {0}) = 2} загар ( φ 1 − φ 0 ) = потому что α 0 загар φ 0 { displaystyle tan ( varphi _ {1} - varphi _ {0}) = cos alpha _ {0} tan varphi _ {0}} [2]
F ( φ 0 ∖ α 0 ) = ( 1 + потому что α 0 ) − 1 F ( φ 1 ∖ α 1 ) = 1 2 ( 1 + грех α 1 ) F ( φ 1 ∖ α 1 ) . { displaystyle { begin {align} F ( varphi _ {0} setminus alpha _ {0}) & = (1+ cos alpha _ {0}) ^ {- 1} F ( varphi _ {1} setminus alpha _ {1}) & = { tfrac {1} {2}} (1+ sin alpha _ {1}) F ( varphi _ {1} setminus alpha _ {1}). End {выравнивается}}} Преобразование Ландена можно аналогичным образом выразить через эллиптический модуль k = грех α { Displaystyle к = грех альфа} k ′ = потому что α { Displaystyle к '= соз альфа}
Полный эллиптический интеграл В формулировке Гаусса значение интеграла
я = ∫ 0 π 2 1 а 2 потому что 2 ( θ ) + б 2 грех 2 ( θ ) d θ { displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta} не меняется, если а { displaystyle a} б { displaystyle b} арифметика и геометрические средства соответственно, то есть
а 1 = а + б 2 , б 1 = а б , { displaystyle a_ {1} = { frac {a + b} {2}}, qquad b_ {1} = { sqrt {ab}},} я 1 = ∫ 0 π 2 1 а 1 2 потому что 2 ( θ ) + б 1 2 грех 2 ( θ ) d θ . { displaystyle I_ {1} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a_ {1} ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b_ {1} ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta.} Следовательно,
я = 1 а K ( ( а 2 − б 2 ) а ) , { displaystyle I = { frac {1} {a}} K ({ frac { sqrt {(a ^ {2} -b ^ {2})}} {a}}),} я 1 = 2 а + б K ( а − б а + б ) . { displaystyle I_ {1} = { frac {2} {a + b}} K ({ frac {a-b} {a + b}}).} Из преобразования Ландена мы заключаем
K ( ( а 2 − б 2 ) а ) = 2 а а + б K ( а − б а + б ) { displaystyle K ({ frac { sqrt {(a ^ {2} -b ^ {2})}} {a}}) = { frac {2a} {a + b}} K ({ frac {ab} {a + b}})} и я 1 = я { displaystyle I_ {1} = I}
Доказательство Преобразование может быть осуществлено интеграция путем замены . Удобно сначала записать интеграл в алгебраический форма путем замены θ = арктан ( Икс б ) { displaystyle theta = arctan left ({ frac {x} {b}} right)} d θ = ( 1 б потому что 2 ( θ ) ) d Икс { displaystyle d theta = left ({ frac {1} {b}} cos ^ {2} ( theta) right) dx}
я = ∫ 0 π 2 1 а 2 потому что 2 ( θ ) + б 2 грех 2 ( θ ) d θ = ∫ 0 ∞ 1 ( Икс 2 + а 2 ) ( Икс 2 + б 2 ) d Икс { displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(x ^ {2}) + a ^ {2}) (x ^ {2} + b ^ {2})}}} , dx} Дальнейшая замена Икс = т + т 2 + а б { Displaystyle х = т + { sqrt {т ^ {2} + ab}}}
я = ∫ 0 ∞ 1 ( Икс 2 + а 2 ) ( Икс 2 + б 2 ) d Икс = ∫ − ∞ ∞ 1 2 ( т 2 + ( а + б 2 ) 2 ) ( т 2 + а б ) d т = ∫ 0 ∞ 1 ( т 2 + ( а + б 2 ) 2 ) ( т 2 + ( а б ) 2 ) d т { displaystyle { begin {align} I & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2 } + b ^ {2})}}} , dx & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {2 { sqrt { left (t ^ {2 } + left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2} right) (t ^ {2} + ab)}}}} , dt & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt { left (t ^ {2} + left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2} right) left (t ^ {2} + left ({ sqrt {ab}} right) ^ {2} right)}}} , dt end {выровнено}}} Этому последнему шагу способствует запись радикала как
( Икс 2 + а 2 ) ( Икс 2 + б 2 ) = 2 Икс т 2 + ( а + б 2 ) 2 { displaystyle { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2} + b ^ {2})}} = 2x { sqrt {t ^ {2} + left ( { frac {a + b} {2}} right) ^ {2}}}} и бесконечно малый как
d Икс = Икс т 2 + а б d т { displaystyle dx = { frac {x} { sqrt {t ^ {2} + ab}}} , dt} так что фактор Икс { displaystyle x}
Среднее арифметико-геометрическое и первый интеграл Лежандра Если преобразование повторяется несколько раз, то параметры а { displaystyle a} б { displaystyle b} среднее арифметико-геометрическое из а { displaystyle a} б { displaystyle b} ГОСА ( а , б ) { displaystyle operatorname {AGM} (a, b)}
я = ∫ 0 π 2 1 а 2 потому что 2 ( θ ) + б 2 грех 2 ( θ ) d θ = ∫ 0 π 2 1 ГОСА ( а , б ) d θ = π 2 ГОСА ( а , б ) { displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { operatorname {AGM} (a, b)}} , d theta = { frac { pi} {2 , operatorname {AGM} (a, b)}}} Интеграл также может быть распознан как кратное Полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода . Положив б 2 = а 2 ( 1 − k 2 ) { displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} (1-k ^ {2})}
я = 1 а ∫ 0 π 2 1 1 − k 2 грех 2 ( θ ) d θ = 1 а F ( π 2 , k ) = 1 а K ( k ) { displaystyle I = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = { frac {1} {a}} F left ({ frac { pi} {2}}, k right) = { frac {1} {a}} K (k)} Следовательно, для любого а { displaystyle a}
K ( k ) = π а 2 ГОСА ( а , а 1 − k 2 ) { Displaystyle К (к) = { гидроразрыва { pi a} {2 , operatorname {AGM} (a, a { sqrt {1-k ^ {2}}})}}} Выполняя обратное преобразование (итерацию обратного арифметико-геометрического среднего), то есть
а − 1 = а + а 2 − б 2 { displaystyle a _ {- 1} = a + { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} ,} б − 1 = а − а 2 − б 2 { displaystyle b _ {- 1} = a - { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} ,} ГОСА ( а , б ) = ГОСА ( а + а 2 − б 2 , а − а 2 − б 2 ) { displaystyle operatorname {AGM} (a, b) = operatorname {AGM} (a + { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}, a - { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}) ,} отношения могут быть записаны как
K ( k ) = π а 2 ГОСА ( а ( 1 + k ) , а ( 1 − k ) ) { Displaystyle К (к) = { гидроразрыва { пи а} {2 , operatorname {AGM} (а (1 + к), а (1-к))}} ,} которое может быть решено для AGM пары произвольных аргументов;
ГОСА ( ты , v ) = π ( ты + v ) 4 K ( ты − v v + ты ) . { displaystyle operatorname {AGM} (u, v) = { frac { pi (u + v)} {4K left ({ frac {u-v} {v + u}} right)}}.} Принятое здесь определение K ( k ) { displaystyle scriptstyle {K (k)}} отличается от используемого в среднее арифметико-геометрическое статья, такая что K ( k ) { displaystyle scriptstyle {K (k)}} вот K ( м 2 ) { Displaystyle scriptstyle {К (м ^ {2})}} в этой статье. Рекомендации ^ Gauss, C.F .; Нахласс (1876 г.). "Arithmetisch geometrisches Mittel, Werke, Bd. 3". Königlichen Gesell. Wiss., Геттинген : 361–403. ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972); первое изд.) Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . МИСТЕР 0167642 . LCCN 65-12253 .
