Уравнение Лейна – Эмдена - Lane–Emden equation

Решения уравнения Лейна – Эмдена для п = 0, 1, 2, 3, 4, 5

В астрофизика, то Уравнение Лейна – Эмдена безразмерная форма Уравнение Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновского самогравитирующего сферически симметричного политропный жидкость. Назван в честь астрофизиков. Джонатан Гомер Лейн и Роберт Эмден.^[1] Уравнение гласит

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0,}$

куда ${\displaystyle \xi }$ - безразмерный радиус и ${\displaystyle \theta }$ связана с плотностью и, следовательно, с давлением соотношением ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$ для центральной плотности ${\displaystyle \rho _{c}}$. Индекс ${\displaystyle n}$ - показатель политропы, входящий в уравнение политропы состояния,

${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$

куда ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle \rho }$ - давление и плотность соответственно, ${\displaystyle K}$ - константа пропорциональности. Стандартные граничные условия: ${\displaystyle \theta (0)=1}$ и ${\displaystyle \theta '(0)=0}$. Таким образом, решения описывают движение давления и плотности с радиусом и известны как политропы индекса ${\displaystyle n}$. Если вместо политропной жидкости использовать изотермическую жидкость (индекс политропы стремится к бесконечности), можно получить Уравнение Эмдена – Чандрасекара.

Приложения

Физически гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, тогда как уравнение Пуассона связывает потенциал с плотностью. Таким образом, если у нас есть дополнительное уравнение, которое определяет, как давление и плотность изменяются относительно друг друга, мы можем прийти к решению. Конкретный выбор политропного газа, как указано выше, делает математическую постановку проблемы особенно сжатой и приводит к уравнению Лейна – Эмдена. Уравнение является полезным приближением для самогравитирующих сфер плазмы, таких как звезды, но обычно это довольно ограничивающее предположение.

Вывод

Из гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующую сферически симметричную жидкость в гидростатическое равновесие. Масса сохраняется и, таким образом, описывается уравнение неразрывности

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

куда ${\displaystyle \rho }$ является функцией ${\displaystyle r}$. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$

куда ${\displaystyle m}$ также является функцией ${\displaystyle r}$. Снова дифференциация дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)&={\frac {2Gm}{r^{3}}}-{\frac {G}{r^{2}}}{\frac {dm}{dr}}\\&=-{\frac {2}{\rho r}}{\frac {dP}{dr}}-4\pi G\rho \end{aligned}}}$

где уравнение неразрывности было использовано для замены градиента массы. Умножая обе стороны на ${\displaystyle r^{2}}$ и сбор производных от ${\displaystyle P}$ слева можно написать

${\displaystyle r^{2}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)+{\frac {2r}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}={\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi Gr^{2}\rho }$

Разделив обе стороны на ${\displaystyle r^{2}}$ дает в некотором смысле размерную форму искомого уравнения. Если дополнительно подставить уравнение политропы состояния на ${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta ^{n+1}}$ и ${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}K\rho _{c}^{\frac {1}{n}}(n+1){\frac {d\theta }{dr}}\right)=-4\pi G\rho _{c}\theta ^{n}}$

Сбор констант и подстановка ${\displaystyle r=\alpha \xi }$, куда

${\displaystyle \alpha ^{2}=(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}/4\pi G,}$

у нас есть уравнение Лейна – Эмдена,

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

Из уравнения Пуассона

В равной степени можно начать с Уравнение Пуассона,

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }$

Можно заменить градиент потенциала, используя гидростатическое равновесие, через

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}$

что снова дает размерную форму уравнения Лейна – Эмдена.

Точные решения

При заданном значении индекса политропы ${\displaystyle n}$, обозначим решение уравнения Лейна – Эмдена как ${\displaystyle \theta _{n}(\xi )}$. В общем, уравнение Лейна – Эмдена необходимо решить численно, чтобы найти ${\displaystyle \theta _{n}}$. Существуют точные аналитические решения для определенных значений ${\displaystyle n}$, особенно: ${\displaystyle n=0,1,5}$. За ${\displaystyle n}$ между 0 и 5, решения являются непрерывными и конечными по протяженности с радиусом звезды, заданным формулой ${\displaystyle R=\alpha \xi _{1}}$, куда ${\displaystyle \theta _{n}(\xi _{1})=0}$.

Для данного решения ${\displaystyle \theta _{n}}$, профиль плотности определяется выражением

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta _{n}^{n}}$.

Общая масса ${\displaystyle M}$ модельной звезды можно найти, интегрировав плотность по радиусу от 0 до ${\displaystyle \xi _{1}}$.

Давление можно найти с помощью политропного уравнения состояния: ${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}$, т.е.

${\displaystyle P=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}\theta _{n}^{n+1}}$

Наконец, если газ идеальный, уравнение состояния имеет вид ${\displaystyle P=k_{B}\rho T/\mu }$, куда ${\displaystyle k_{B}}$ это Постоянная Больцмана и ${\displaystyle \mu }$ средний молекулярный вес. Температурный профиль тогда определяется выражением

${\displaystyle T={\frac {K\mu }{k_{B}}}\rho _{c}^{1/n}\theta _{n}}$

В сферически-симметричных случаях уравнение Лейна – Эмдена интегрируемо только для трех значений индекса политропы ${\displaystyle n}$.

За п = 0

Если ${\displaystyle n=0}$, уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+1=0}$

Однажды перекомпоновка и интеграция дает

${\displaystyle \xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}=C_{1}-{\frac {1}{3}}\xi ^{3}}$

Разделив обе стороны на ${\displaystyle \xi ^{2}}$ и снова интегрирование дает

${\displaystyle \theta (\xi )=C_{0}-{\frac {C_{1}}{\xi }}-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

Граничные условия ${\displaystyle \theta (0)=1}$ и ${\displaystyle \theta '(0)=0}$ следует, что постоянные интегрирования равны ${\displaystyle C_{0}=1}$ и ${\displaystyle C_{1}=0}$. Следовательно,

${\displaystyle \theta (\xi )=1-{\frac {1}{6}}\xi ^{2}}$

За п = 1

Когда ${\displaystyle n=1}$, уравнение можно разложить в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\xi ^{2}}}+{\frac {2}{\xi }}{\frac {d\theta }{d\xi }}+\theta =0}$

Предполагается, что решение по силовой серии:

${\displaystyle \theta (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\xi ^{n}}$

Это приводит к рекурсивному соотношению для коэффициентов разложения:

${\displaystyle a_{n+2}=-{\frac {a_{n}}{(n+3)(n+2)}}}$

Это соотношение может быть разрешено, приводя к общему решению:

${\displaystyle \theta (\xi )=a_{0}{\frac {\sin \xi }{\xi }}+a_{1}{\frac {\cos \xi }{\xi }}}$

Граничное условие для физического политропа требует, чтобы ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow 1}$ в качестве ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$. Для этого необходимо, чтобы ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=0}$, что приводит к решению:

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {\sin \xi }{\xi }}}$

За п = 5

Начнем с уравнения Лейна – Эмдена:

${\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)+\theta ^{5}=0}$

Переписывание для ${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}}$ производит:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\xi }}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right)^{3/2}{\frac {2\xi }{3}}={\frac {\xi ^{3}}{3\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}}$

Дифференцируя по ξ приводит к:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {\xi ^{2}}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{3/2}}}+{\frac {3\xi ^{2}}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}={\frac {9}{9\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$

Уменьшено, мы получаем:

${\displaystyle \theta ^{5}={\frac {1}{\left[1+{\frac {\xi ^{2}}{3}}\right]^{5/2}}}}$

Следовательно, уравнение Лейна – Эмдена имеет решение

${\displaystyle \theta (\xi )={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}/3}}}}$

когда ${\displaystyle n=5}$. Это решение имеет конечную массу, но бесконечную радиальную протяженность, и поэтому полная политропа не является физическим решением. Чандрасекар долгое время считал, что найти другое решение для ${\displaystyle n=5}$ «сложен и включает эллиптические интегралы».

Решение Шриваставы

В 1962 году Самбхунатх Шривастава нашел явное решение, когда ${\displaystyle n=5}$.^[2] Его решение дается

${\displaystyle \theta ={\frac {\sin(\ln {\sqrt {\xi }})}{{\sqrt {\xi }}[3-2\sin ^{2}(\ln {\sqrt {\xi }})]}},}$

и из этого решения семейство решений ${\displaystyle \theta (\xi )\rightarrow {\sqrt {A}}\,\theta (A\xi )}$ можно получить с помощью преобразования гомологии. Поскольку это решение не удовлетворяет условиям в начале координат (фактически, оно является осциллирующим, с неограниченным возрастанием амплитуд по мере приближения к началу координат), это решение можно использовать в составных моделях звезд.

Аналитические решения

В приложениях основную роль играют аналитические решения, которые выражаются сходящийся степенной ряд расширился вокруг некоторой начальной точки. Обычно точка расширения ${\displaystyle \xi =0}$, которая также является особой точкой (фиксированной сингулярностью) уравнения, и имеются некоторые начальные данные ${\displaystyle \theta (0)}$ в центре звезды. Можно доказать ^[3][4] что уравнение имеет сходящийся степенной ряд / аналитическое решение вокруг начала координат формы

${\displaystyle \theta (\xi )=\theta (0)+{\frac {\theta (0)^{n}}{6}}\xi ^{2}+O(\xi ^{3}),\quad \xi \approx 0}$.

Численное решение аналитического решения уравнения Лейна-Эмдена на комплексной плоскости для ${\displaystyle n=5}$, ${\displaystyle \theta (0)=2}$. Видны две подвижные особенности на мнимой оси. Они ограничивают радиус сходимости аналитического решения вокруг начала координат. Для разных значений исходных данных и ${\displaystyle p}$ расположение особенностей другое, но они расположены симметрично относительно мнимой оси.^[5]

В радиус схождения этой серии ограничено из-за наличия ^[4][6] двух особенностей на мнимой оси в комплексная плоскость. Эти особенности расположены симметрично относительно начала координат. Их положение меняется при изменении параметров уравнения и начального условия ${\displaystyle \theta (0)}$, поэтому их называют подвижные особенности за счет классификации особенностей нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на комплексной плоскости на Поль Пенлеве. Подобная структура особенностей появляется и в других нелинейных уравнениях, которые возникают в результате уменьшения Оператор Лапласа в сферической симметрии, например, уравнение изотермической сферы.^[6]

Аналитические решения могут быть расширены вдоль вещественной линии с помощью аналитическое продолжение процедура, в результате которой создается полный профиль звезды или молекулярное облако ядра. Два аналитических решения с перекрытием круги конвергенции также может быть согласовано по перекрытию с решением для более крупной области, что является широко используемым методом построения профилей с требуемыми свойствами.

Решение ряда также используется при численном интегрировании уравнения. Он используется для небольшого смещения начальных данных для аналитического решения от начала координат, так как в начале координат численные методы не работают из-за особенности уравнения.

Численные решения

Как правило, решения находятся путем численного интегрирования. Многие стандартные методы требуют, чтобы проблема была сформулирована как система первого порядка. обыкновенные дифференциальные уравнения. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d\theta }{d\xi }}=-{\frac {\varphi }{\xi ^{2}}}\\[6pt]&{\frac {d\varphi }{d\xi }}=\theta ^{n}\xi ^{2}\end{aligned}}}$

Здесь, ${\displaystyle \varphi (\xi )}$ интерпретируется как безразмерная масса, определяемая ${\displaystyle m(r)=4\pi \alpha ^{3}\rho _{c}\varphi (\xi )}$. Соответствующие начальные условия: ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ и ${\displaystyle \theta (0)=1}$. Первое уравнение представляет собой гидростатическое равновесие, а второе - сохранение массы.

Гомологические переменные

Гомологически-инвариантное уравнение

Известно, что если ${\displaystyle \theta (\xi )}$ является решением уравнения Лейна – Эмдена, то и ${\displaystyle C^{2/n+1}\theta (C\xi )}$.^[7] Связанные таким образом решения называются гомологичный; процесс, который их трансформирует, гомология. Если выбрать переменные, инвариантные по отношению к гомологиям, то можно уменьшить порядок уравнения Лейна – Эмдена на единицу.

Существует множество таких переменных. Подходящий выбор

${\displaystyle U={\frac {d\log m}{d\log r}}={\frac {\xi ^{3}\theta ^{n}}{\varphi }}}$

и

${\displaystyle V={\frac {d\log P}{d\log r}}=(n+1){\frac {\varphi }{\xi \theta }}}$

Мы можем дифференцировать логарифмы этих переменных по ${\displaystyle \xi }$, который дает

${\displaystyle {\frac {1}{U}}{\frac {dU}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(3-n(n+1)^{-1}V-U)}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{V}}{\frac {dV}{d\xi }}={\frac {1}{\xi }}(-1+U+(n+1)^{-1}V)}$.

Наконец, мы можем разделить эти два уравнения, чтобы исключить зависимость от ${\displaystyle \xi }$, который оставляет

${\displaystyle {\frac {dV}{dU}}=-{\frac {V}{U}}\left({\frac {U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}}\right)}$

Теперь это одно уравнение первого порядка.

Топология гомологически-инвариантного уравнения

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

${\displaystyle {\frac {dU}{d\log \xi }}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}$

и

${\displaystyle {\frac {dV}{d\log \xi }}=V(U+(n+1)^{-1}V-1).}$

Поведение решений этих уравнений можно определить с помощью линейного анализа устойчивости. Критические точки уравнения (где ${\displaystyle dV/d\log \xi =dU/d\log \xi =0}$), а также собственные значения и собственные векторы Матрица якобиана приведены в таблице ниже.^[8]

${\displaystyle {\begin{array}{|l|l|l|}\hline {\text{Critical point}}&{\text{Eigenvalues}}&{\text{Eigenvectors}}\\\hline (0,0)&3,-1&(1,0),(0,1)\\(3,0)&-3,2&(1,0),(-3n,5+5n)\\(0,n+1)&1,3-n&(0,1),(2-n,1+n)\\\left({\dfrac {n-3}{n-1}},2{\dfrac {n+1}{n-1}}\right)&{\dfrac {n-5\pm \Delta _{n}}{2-2n}}&(1-n\mp \Delta _{n},4+4n)\\\hline \end{array}}}$

Смотрите также

• Уравнение Эмдена – Чандрасекара
• Уравнение белого карлика Чандрасекара

Рекомендации

1. Лейн, Джонатан Гомер (1870). «О теоретической температуре Солнца, согласно гипотезе о газовой массе, поддерживающей свой объем за счет своего внутреннего тепла, и в зависимости от законов газов, известных в земном эксперименте». Американский журнал науки. 2. 50 (148): 57–74. Bibcode:1870AmJS ... 50 ... 57L. Дои:10.2475 / ajs.s2-50.148.57. ISSN  0002-9599. S2CID  131102972.
2. Шривастава, Шамбунатх (1962). "Новое решение уравнения Лейна-Эмдена индекса n = 5". Астрофизический журнал. 136: 680. Bibcode:1962ApJ ... 136..680S. Дои:10.1086/147421. ISSN  0004-637X.
3. Кисия, Радослав Антони (2020). "Возмущенные уравнения Лейна – Эмдена как краевая задача с сингулярными концами". Журнал динамических и управляющих систем. 26 (2): 333–347. Дои:10.1007 / s10883-019-09445-6. ISSN  1079-2724.
4. Хантер, К. (2001-12-11). «Серийные решения для политроп и изотермической сферы». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 328 (3): 839–847. Bibcode:2001МНРАС.328..839Н. Дои:10.1046 / j.1365-8711.2001.04914.x. ISSN  0035-8711.
5. Кисия, Радослав Антони; Филипук, Галина (2015), Митюшев, Владимир В .; Ружанский, Михаил В. (ред.), "Об особенностях уравнений типа Эмдена – Фаулера", Современные тенденции в анализе и его приложениях, Cham: Springer International Publishing, стр. 93–99, Дои:10.1007/978-3-319-12577-0_13, ISBN  978-3-319-12576-3, получено 2020-07-19
6. Кисия, Радослав Антони; Филипук, Галина (2015). «Об обобщенных уравнениях Эмдена – Фаулера и изотермических сфер». Прикладная математика и вычисления. 265: 1003–1010. Дои:10.1016 / j.amc.2015.05.140.
7. Чандрасекар, Субраманян (1957) [1939]. Введение в изучение структуры звезды. Дувр. Bibcode:1939isss.book ..... C. ISBN  978-0-486-60413-8.
8. Хоредт, Георг П. (1987). «Топология уравнения Лейна-Эмдена». Астрономия и астрофизика. 117 (1–2): 117–130. Bibcode:1987A & A ... 177..117H. ISSN  0004-6361.

дальнейшее чтение

• Хоредт, Георг П. (2004). Политропы - приложения в астрофизике и смежных областях. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-1-4020-2350-7.

• Дэвид, Гарольд Т. (2010). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Dover Publications. ISBN  978-0486609713.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Лейна-Эмдена". MathWorld.