Закон квадратов - Law of squares

В закон квадратов это теорема о линии передачи. В нем говорится, что Текущий вводится в линию ступенчато Напряжение достигает максимума за время, пропорциональное квадрату расстояния по линии. Теорема связана с Уильям Томсон, будущий лорд Кельвин. Закон имел некоторое значение в связи с подводные телеграфные кабели.

Закон

Для увеличение шага в напряжении, приложенном к линия передачи, закон квадратов можно сформулировать следующим образом:

${\displaystyle t_{\text{max}}={1 \over 2}RCx^{2}}$

куда,

${\displaystyle t_{\text{max}}}$ это время, когда ток в линии достигает максимума

${\displaystyle R}$ это сопротивление на метр линии

${\displaystyle C}$ это емкость на метр линии

${\displaystyle x}$ расстояние от входа в линию.^[1]

Закон квадратов не ограничивается пошаговые функции. Это также относится к импульсивный ответ или прямоугольная функция которые более актуальны для телеграфия. Тем не менее мультипликативный коэффициент в этих случаях иначе. Для импульса это 1/6, а не 1/2, а для прямоугольных импульсов это нечто среднее, в зависимости от их длины.^[2]

История

Закон квадратов был предложен Уильям Томсон (позже стал лордом Кельвином) в 1854 г. Университет Глазго. Он получил некоторый вклад от Джордж Габриэль Стоукс. Томсон и Стокс интересовались исследованием осуществимости предложенного трансатлантический телеграфный кабель.^[3]

Томсон построил свой результат по аналогии с теплопередача теория Жозеф Фурье (передача электрического шага вниз по линии аналогична внезапному приложению фиксированной температуры к одному концу металлического стержня). Он обнаружил, что уравнение, определяющее мгновенное напряжение на линии, ${\displaystyle v(x,t)}$ дан кем-то,^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=RC{\frac {\partial v}{\partial t}}}$.

Отсюда он вывел закон квадратов.^[5] Хотя описание линии передачи Томсоном не совсем неверно, оно вполне подходит для низких частот, участвующих в Викторианский телеграфный кабель, это не полная картина. В частности, Томсон не учел индуктивность (L) линии или утечки проводимость (G) изоляционного материала.^[6] Полное описание предоставлено Оливер Хевисайд в том, что сейчас известно как уравнения телеграфа.^[7] Закон квадратов может быть получен из частного случая уравнений телеграфа, то есть с L и G, установленными в ноль.^[8]

Неверие

Результат Томсона довольно противоречив и заставил некоторых не поверить в него. В результате большинство инженеров-телеграфистов ожидали, что задержка пика будет прямо пропорциональна длине линии. Телеграфия находилась в зачаточном состоянии, и многие инженеры-телеграфисты были самоучками. Они были склонны не доверять ученым и вместо этого полагались на практический опыт.^[9] Еще в 1887 году автор письма к Электрик хотел «... протестовать против растущей тенденции втягивать математику во все».^[10]

Один противник Томсона имел особое значение, Дикий Уайтхаус, который бросил вызов Томсону, когда он представил теорему Британская ассоциация в 1855 г.^[11] И Томсон, и Уайлдман были связаны с проектом трансатлантического телеграфного кабеля, Томсон в качестве бесплатного директора и научного консультанта, а Уайтхаус в качестве главного электрика Атлантическая телеграфная компания.^[12] Открытие Томсона грозило сорвать проект или, по крайней мере, указывало на то, что требовался кабель гораздо большего размера (провод большего размера уменьшит ${\displaystyle R}$ а более толстый изолятор уменьшит ${\displaystyle C}$).^[13] Уайтхаус не имел высшего математического образования (по образованию он был врачом) и не полностью понимал работы Томсона.^[14] Он утверждал, что у него есть экспериментальные доказательства того, что Томсон ошибался, но его измерения были плохо продуманы, и Томсон опроверг его утверждения, показав, что результаты Уайтхауса согласуются с законом квадратов.^[15]

Уайтхаус считал, что более тонкий кабель можно заставить работать с высоким напряжением. индукционная катушка. Компания Atlantic Telegraph, спешащая с продвижением проекта, выбрала более дешевое решение Whitehouse, чем решение Thomson.^[16] После того, как кабель был проложен, он сильно пострадал от замедления, эффект, который впервые заметил Латимер Кларк в 1853 г. на англо-голландском подводном кабеле Электротелеграфная компания. Замедление вызывает задержку и удлинение телеграфных импульсов, как если бы одна часть импульса задержалась больше, чем другая. Замедление может привести к наложению соседних телеграфных импульсов, что сделает их нечитаемыми, этот эффект теперь называется межсимвольная интерференция. Это заставляло телеграфистов отправлять сообщения медленнее, чтобы восстановить интервал между импульсами.^[17] Проблема с атлантическим кабелем была настолько серьезной, что скорость передачи измерялась в минутах на слово, а не в слов в минуту.^[18] Пытаясь решить эту проблему с помощью еще более высокого напряжения, Уайтхаус навсегда повредил изоляцию кабеля и сделал его непригодным для использования. Вскоре после этого он был уволен.^[19]

Некоторые комментаторы переосмыслили закон квадратов и пришли к выводу, что из него следует, что "скорость электричества "зависит от длины кабеля. Хевисайд, с типичным сарказмом, в материале Электрик возразил на это:

Можно ли представить себе, что течение, когда оно впервые собирается, скажем, в Эдинбург, знает куда он идет, сколько времени ему предстоит пройти и где остановиться, чтобы соответствующим образом скорректировать скорость? Конечно, нет...

— Оливер Хевисайд, 1887 г.^[20]

Объяснение

И закон квадратов, и связанное с ним дифференциальное запаздывание можно объяснить со ссылкой на разброс. Это явление, при котором разные частота компоненты телеграфного импульса перемещаются по кабелю с разной скоростью в зависимости от материалов и геометрии кабеля.^[21] Такой анализ с использованием частотная область с Анализ Фурье а не область времени, был неизвестен инженерам телеграфа того периода. Скорее всего, они будут отрицать, что регулярная цепочка импульсов содержит более одной частоты.^[22] На линии с преобладанием сопротивления и емкости, такой как низкочастотные линии, проанализированные Томсоном, квадрат скорости, ${\displaystyle u}$частотной составляющей волны пропорциональна ее угловая частота, ${\displaystyle \omega }$ так что,

${\displaystyle u^{2}={\frac {2\omega }{CR}}.}$

Видеть Константы первичной линии § Витая пара и Константы первичной линии § Скорость для вывода этого.^[23]

Из этого видно, что более высокочастотные компоненты перемещаются быстрее, постепенно растягивая импульс. По мере того, как более высокочастотные компоненты «убегают» от основного импульса, оставшиеся низкочастотные компоненты, которые содержат большую часть энергии, остаются постепенно перемещающимися медленнее как группа.^[24]

Рекомендации

1. Нахин (2002), стр. 34
2. Нахин (2002), стр. 33–34.
3. Нахин (2002), стр. 29
4. Нахин (2002), стр. 30
5. Нахин (2002), стр. 30–33.
6. Нахин (2002), стр. 36
7. Хант, стр. 66–67.
8. Нахин (2108), стр. 137–144.
9. Линдли, стр. 125
   • Нахин (2002), стр. 34
10. Нахин (2002), стр. 34
11. Нахин (2002), стр. 34
    • Линдли, стр. 125
12. Линдли, стр. 129
13. Линдли, стр. 130
14. Нахин (2002), стр. 34
    • Линдли, стр. 125–126.
15. Линдли, стр. 125–126.
16. Хант, стр. 64
17. Хант, стр. 62
18. Шиффер, стр. 231
19. Хант, стр. 64
20. Нахин (2002), стр. 36
21. Раддок, стр. 13
22. Lundheim, стр. 23–24.
23. Коннор П. 19
24. Tagg, p. 88

Библиография

• Коннор, Ф.Р., Передача волн, Эдвард Арнольд, 1972 г. ISBN  0713132787.
• Хант, Брюс Дж., Максвеллианцы, Издательство Корнельского университета, 2005 г. ISBN  0801482348.
• Линдли, Дэвид, Градусы Кельвина: рассказ о гении, изобретении и трагедии, Джозеф Генри Пресс, 2004 г. ISBN  0309167825.
• Лундхейм, Л., «По формуле Шеннона и Шеннона», Telektronikk, т. 98, нет. 1. С. 20–29, 2002.
• Нахин, Пол Дж., Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена гения-электрика викторианской эпохи, Johns Hopkins University Press, 2002 г. ISBN  0801869099.
• Нахин, Пол Дж., Переходные процессы для инженеров-электриков: анализ элементарных коммутируемых цепей во временной области и области преобразования Лапласа (с прикосновением к MATLAB), Springer International Publishing, 2018 г., ISBN  9783319775982.
• Раддок, И.С., "Лорд Кельвин", гл. 1 in, Collins, M.W .; Dougal, R.C .; Koenig, C.s .; Раддок, И. (ред.), Кельвин, термодинамика и мир природы, WIT Press, 2015 ISBN  1845641493.
• Шиффер, Майкл Б., Борьба за власть: научный авторитет и создание практического электричества до Эдисона, MIT Press, 2008 г. ISBN  9780262195829.
• Тагг, Кристофер, "Теория солитонов в оптической связи", стр. 87–88 в, Ежегодный обзор широкополосной связи, Международный инженерный консорциум, 2005 г. ISBN  1931695385.